[論文レビュー] Knotted contractible 4-manifolds in the 4-sphere

W. B. R. Lickorish|ArXiv.org|Jul 31, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、4次元球面 $S^4$ に埋め込まれたコンパクトで可縮な4次元多様体の補集合が非自明な基本群を持つ例を構成し、このような多様体がねじれることができる（knottedである）ことを示している。 Kirby計算とAndrews-Curtis移動を用いて、任意の有限生成でバランス型の表示を持つ完全群が、$S^4$ 内に埋め込まれたある可縮4次元多様体の補集合の基本群として実現可能であることを証明している。さらに、その多様体と区間の積は5次元球面 $B^5$ に同相であることを示している。

ABSTRACT

Examples are given to show that some compact contractible 4-manifolds can be knotted in the 4-sphere. It is then proved that any finitely presented perfect group with a balanced presentation is a knot group for an embedding of some contractible 4-manifold in the 4-sphere.

研究の動機と目的

• コンパクトで可縮な4次元多様体が、単連結かつ点にホモトピー同値であるにもかかわらず、$S^4$ にねじれることができるかどうかを示すこと。
• 可縮4次元多様体の$S^4$ 内の補集合の基本群が非自明になり得ることを示し、古典的なねじれの直感に反することを明らかにすること。
• 有限生成でバランス型の表示を持つ完全群と、$S^4$ 内に埋め込まれた可縮4次元多様体の補集合の基本群との間の対応関係を確立すること。
• 同じ可縮多様体の2つの埋め込みがホモトピー的同値であっても、環境的同相でない（ambiently non-isotopic）ことがあることを示し、補集合の基本群を不変量として用いること。

提案手法

• 与えられた群の表示における関係式を表す曲線を$S^3$ 上に取り、4次元球面に$n$個の1ハンドルと$n$個の2ハンドルを付加することで4次元多様体$X$を構成する。
• Kirby計算を用いて、2ハンドルの付加曲線を$S^3$ 内のリンクとして表現し、フレーミングを0に設定することで、$X \subset S^4$ として4次元多様体を定義する。
• 補集合$M = \overline{S^4 \setminus X}$ を定義し、これはコンパクトで可縮な4次元多様体である。その後、補集合の基本群の表示を用いて$M$ の基本群を解析する。
• Andrews-Curtis移動を用いて、1ハンドルの周りのミッドラインディスクの順序を調整することで、$\pi_1(M)$ の表示を再配置し、結果として自明な表示が得られるようにする。
• アーベル化に対するユニモジュラーな表示行列が存在することは、Andrews-Curtis移動によって自明な群の表示が得られることを示唆する。
• もし$\pi_1(M)$ が自明でかつ$M \times I$ が5次元球面$B^5$ に同相であるならば、$M$ の$S^4$ への埋め込みは標準的なものとは異なり、環境的同相でないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで可縮な4次元多様体が、その補集合の基本群が非自明になるように$S^4$ に埋め込まれる可能性はあるか？
• RQ2 任意の有限生成でバランス型の表示を持つ完全群$G$ に対して、$S^4$ 内に埋め込まれた可縮4次元多様体の補集合の基本群が$G$ に同型になるような埋め込みが存在するか？
• RQ3 同じコンパクトで可縮な4次元多様体$M$ の$S^4$ 内の2つの埋め込みがホモトピー的同値であっても、環境的同相でないことがあるか。これはねじれの存在を示す。
• RQ4 Kirby計算とハンドル体構成を用いて、任意の完全でバランス型の群を、$S^4$ 内の可縮4次元多様体のねじれ群として実現可能か？
• RQ5 2ハンドルの付加曲線にどのような条件を課えると、$S^4$ 内の4次元多様体の補集合の基本群を非自明にしつつ、可縮性を保てると考えられるか？

主な発見

• コンパクトで可縮な4次元多様体$M$ に対する2つのpiecewise linearな埋め込み$e_0$ と$e_1$ が存在し、$\pi_1(S^4 \setminus e_0(M))$ は自明で、$\pi_1(S^4 \setminus e_1(M))$ は非自明である。これは$M$ が$S^4$ にねじれることを示している。
• 任意の有限生成でバランス型の表示を持つ完全群$G$ に対して、$S^4$ 内に埋め込まれたコンパクトで可縮な4次元多様体$M$ が存在し、$\pi_1(S^4 \setminus M) \cong G$ が成り立つ。これは完全な実現結果を示している。
• $X$ の補集合として定義される多様体$M$ は、$M \times I \cong B^5$ を満たしており、補集合の基本群が非自明であっても、可縮4次元多様体は5次元球面のスライスである。
• 構成は、2ハンドルの付加曲線を、与えられた群の表示における関係式の語の構造を反映させるように選ぶことで行われる。
• ペア$a_i a_i^{-1}$ を挿入し、ミッドラインディスクの順序を再配置することで、Andrews-Curtis移動により$M$ の基本群を自明にできる。これにより$M \times I$ が5次元球面に同相であることが保証される。
• 鍵となる洞察は、$M$ の基本群のアーベル化が自明（ユニモジュラーな表示行列）であることであり、これによりLemma 2を用いて、Andrews-Curtis移動によって表示を自明な群に変換できる。