[論文レビュー] Knottedness is in NP, modulo GRH

Greg Kuperberg|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Linguistics and Discourse Analysis被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、一般化されたリーマン予想（GRH）を仮定すると、絡み目が非自明（非自明な絡み目）であるかどうかを決定することは、複雑性クラスNPに属することを証明している。論文は、多項式長の証明書を構築し、それは素数 $ p $ と、絡み目の群から $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) $ への非アーベル表現から成る。この証明書は多項式時間で検証可能であり、GRHにより素数 $ p $ が十分に小さくなることが保証され、多項式サイズを確保する。

ABSTRACT

Given a tame knot K presented in the form of a knot diagram, we show that the problem of determining whether K is knotted is in the complexity class NP, assuming the generalized Riemann hypothesis (GRH). In other words, there exists a polynomial-length certificate that can be verified in polynomial time to prove that K is non-trivial. GRH is not needed to believe the certificate, but only to find a short certificate. This result complements the result of Hass, Lagarias, and Pippenger that unknottedness is in NP. Our proof is a corollary of major results of others in algebraic geometry and geometric topology.

研究の動機と目的

• 一般化されたリーマン予想（GRH）を仮定して、絡み目が非自明であるかどうかを決定する問題がNPに属することを確立すること。
• GRHが証明書のサイズが多項式であることを保証する中で、多項式長の証明書を提供し、それが多項式時間で検証可能であることを示すこと。
• ハス、ラガリアス、ピッペンジャーの結果（自明な絡み目がNPに属すること）を補完し、同じ仮定のもとで絡み目の非自明性がcoNPに属することを示し、自明な絡み目がNP ∩ coNPに属することを示すこと。
• 短い証明書の存在がGRHに依存することを示すが、証明書自体は条件なしに正当かつ信憑性があること。
• 特に、標準的予想のもとで絡み目の非自明性がNP-hardでない可能性があることなど、複雑性理論的含意を検討すること。

提案手法

• 非自明な絡み目は、$ \mathrm{SU}(2) \subset \mathrm{SL}(2,\mathbb{C}) $ への非アーベル表現を持つという、クロネイマーとムロワカの結果を利用する。
• コーランの定理を用いて、代数方程式系が複素数解を持つならば、GRHのもとで、その方程式系が法 $ p $ で解を持つような小さな素数 $ p $ が存在することを示す。
• 証明書として、各絡み目の群の生成子に対して $ 2 \times 2 $ 行列の $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ 上の表現と素数 $ p $ を構成する。
• 行列表現が絡み目の群の関係式を満たし、非可換（またはウィルティンガー表示においてすべて等しくない）ことを検証し、非自明性を確認する。
• 有限体上のこのような非アーベル表現が存在することは、絡み目が自明でないことを示す。
• 一般化されたリーマン予想を用いて $ p $ の大きさをバウンドし、証明書の長さが入力サイズの多項式に収まるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたリーマン予想（GRH）を仮定すると、絡み目が非自明であるかどうかを決定する問題は、複雑性クラスNPに属するか？
• RQ2 有限群表現を用いて、短く、効率的に検証可能な絡み目の非自明性の証明書を構築できるか？
• RQ3 GRHが証明書の多項式長を保証する役割を果たすが、これは条件なしに取り除けるか？
• RQ4 絡み目の非自明性の複雑さは、因数分解やグラフ同型性といった中間問題とどのように関係するか？
• RQ5 量子アルゴリズムなどの代替証明書やアルゴリズム（例：BQP や SZK に属する）は、絡み目の非自明性をそれらのクラスに含めるか？

主な発見

• 一般化されたリーマン予想（GRH）を仮定すると、絡み目の非自明性はNPに属する。ハス、ラガリアス、ピッペンジャーの結果（自明な絡み目がNPに属すること）と併せ、完全な像が得られる。
• 証明書は素数 $ p $ と、$ \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) $ への非アーベル表現から成り、GRHのもとで入力サイズの多項式関数で $ p $ がバウンドされる。
• 検証者は多項式時間で群の関係式と表現の非可換性を確認し、絡み目が非自明であることを確認する。
• GRHがなければ、証明書の長さは $ \exp(\exp(\mathrm{poly}(\ell))) $ にまで増加するが、証明書自体は依然として正当である。
• この結果により、GRHのもとで自明な絡み目はNP ∩ coNPに属することを示し、これはそれがNP-hardでない可能性を示唆し、中間複雑性クラスに属する可能性があることを示す。
• この手法により、絡み目の群の有限商のサイズに対する有効なバウンドが得られる：GRHのもとでは $ |G| = \exp(\mathrm{poly}(\ell)) $、条件なしでは $ \exp(\exp(\mathrm{poly}(\ell))) $。