[論文レビュー] Kolmogorov complexity and the Recursion Theorem

Bjørn Kjos-Hanssen, Wolfgang Merkle+1 more|Jan 26, 2009

Hermeneutics and Narrative Identity被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、コルモゴロフ複雑性を用いて、再帰定理を満たさないチューリング次数の正確な特徴づけを確立する。DNR関数（対角的に非再帰的関数）を計算できるかどうかは、その集合の初期セグメントの非自明なコルモゴロフ複雑性の下界、特に通常複雑性またはオラクル依存の下界によって特徴づけられることを示し、計算の強さとアルゴリズム的ランダムネス・複雑性理論を結びつける。

ABSTRACT

Several classes of DNR functions are characterized in terms of Kolmogorov complexity. In particular, a set of natural numbers A can wtt-compute a DNR function iff there is a nontrivial recursive lower bound on the Kolmogorov complexity of the initial segments of A. Furthermore, A can Turing compute a DNR function iff there is a nontrivial A-recursive lower bound on the Kolmogorov complexity of the initial segements of A. A is PA-complete, that is, A can compute a {0,1}-valued DNR function, iff A can compute a function F such that F(n) is a string of length n and maximal C-complexity among the strings of length n. A solves the halting problem iff A can compute a function F such that F(n) is a string of length n and maximal H-complexity among the strings of length n. Further characterizations for these classes are given. The existence of a DNR function in a Turing degree is equivalent to the failure of the Recursion Theorem for this degree; thus the provided results characterize those Turing degrees in terms of Kolmogorov complexity which do no longer permit the usage of the Recursion Theorem.

研究の動機と目的

• 再帰定理を満たさないチューリング次数を、コルモゴロフ複雑性を用いて特徴づけること。
• DNR関数と、集合の初期セグメントの複雑性に対する非自明な下界の間の関係を明確にすること。
• 各長さについて、最大コルモゴロフ複雑性を持つ文字列を計算するために必要な計算的強度を調査すること。
• 高次、PA完全、自己複雑な集合について、複雑性の下限とオラクル計算を用いた特徴づけを提供すること。
• 複雑性と定義可能性の制約を用いて、自己複雑な集合と再帰的可算（r.e.）トレーサブル集合の双対性を探索すること。

提案手法

• 通常のコルモゴルフォフ複雑性 $C(A\upharpoonright n)$ に対する再帰的およびオラクル依存の下界を用いて、複雑で自己複雑な集合の概念を導入する。
• wtt-およびT還元を用いて、DNR関数の存在と集合の初期セグメントの複雑性下限との関係を関係づける。
• 複雑性と再帰理論的性質を橋渡しするため、SDNR（強く対角的に非再帰的）関数の概念を適用する。
• ユニバーサルマシンと接頭語自由複雑性 $H$ を用いて、最大複雑性を持つ文字列を計算する難易度を分析する。
• 最大複雑性を持つ文字列のオラクル計算と、高次チューリング次数またはPA完全性との間の同値性を確立する。
• トレーサビリティと再帰的バウンディング関数を用いて、DNR行動を避ける集合を特徴づけ、それらを低複雑性および再帰理論的制限と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのチューリング次数が再帰定理を満たさず、それがコルモゴロフ複雑性によってどのように特徴づけられるか？
• RQ2 ある集合がDNR関数を計算できるのと、その初期セグメントの複雑性に対する非自明な再帰的またはオラクル依存の下界の存在との間の正確な関係は何か？
• RQ3 各 $n$ に対して、長さ $n$ で最大の接頭語自由コルモゴロフ複雑性を持つ文字列を計算するのはどの程度難しいか？また、これは停止問題とどのように関係するか？
• RQ4 初期セグメントの複雑性の下限を用いて、PA完全および高次チューリング次数にどのような特徴づけを与えることができるか？
• RQ5 再帰的可算トレーサブル集合はDNR関数の不在とどのように関係し、どのような複雑性理論的性質を示すか？

主な発見

• 集合 $A$ が $A$ を用いたwtt-還元でDNR関数を計算できるのは、$C(A\upharpoonright n)$ に対して非自明な再帰的下界が存在するときである。
• 集合 $A$ が $A$ を用いたT-還元でDNR関数を計算できるのは、$C(A\upharpoonright n)$ に対して非自明な $A$-再帰的下界が存在するときである。
• 集合 $A$ がPA完全であるのは、$F(n)$ が長さ $n$ の文字列で、長さ $n$ の文字列の中で最大の $C$-複雑性を持つような関数 $F$ を計算できるときである。
• 集合 $A$ が $A \geq_T K$ を満たすのは、$F(n)$ が長さ $n$ の文字列で、長さ $n$ の文字列の中で最大の $H$-複雑性を持つような関数 $F$ を計算できるときである。
• 各 $n$ に対して最大の接頭語自由複雑性を持つ文字列を計算する問題は、使用するユニバーサルマシンに関係なく、停止問題と同程度の難易度を持つ。
• 集合 $A$ が再帰的可算トレーサブルであるのは、$A$ で計算可能なすべての関数が、そもそもSDNRでないときであり、これは、対角関数との一致集合に対する再帰的バウンディング関数の存在と同値である。