[論文レビュー] Komplexe elliptische Geschlechter und S^1-aequivariante Kobordismustheorie (Complex elliptic genera and S^1-equivariant cobordism theory)

Gerald Hoehn|arXiv (Cornell University)|May 12, 2004

Geometric and Algebraic Topology被引用数 9

ひとこと要約

この修士論文は、向き付け可能多様体から複素多様体への楕円的特徴の理論を一般化し、S¹-可換コボルディズム論を用いて複素楕円的特徴の枠組みを確立する。この特徴はモジュラー形式を用いて特徴付けられ、特徴的べき級数と可換指数論を用いて、その整数性とS¹作用における剛性が証明される。これは、OchanineとWittenの古典的結果を、特徴的べき級数と可換指数論を介して複素設定に拡張するものである。

ABSTRACT

We introduce the universal complex elliptic genus phi_ell as the ring homomorphism from the complex cobordism ring Omega^U to the polynomial ring C[A,B,C,D] associated to the characteristic power series Q(x)=x/f(x), where f is the solution of the differential equation (f'/f)'=S(f'/f), S(y) = (y+A/2)^4-B/4*(y+A/2)^2+4C*(y+A/2)+B^2/64-2D. Formally, phi_ell arises as the index of the Dolbeault operator of the loop space of a manifold. For manifolds with vanishing first Chern class, phi_ell becomes a Jacobi form F(z,τ) for the full Jacobi group Z^2 x PSL_2(Z). We prove the rigidity of phi_ell for S^1-actions on SU-manifolds. The kernel of phi_ell in the rational SU-cobordism ring is characterized as the ideal generated by manifolds with S^1-action of fixed type t (an integer) different from 0. For z to be an N-division point on the elliptic curve determined by τ, phi_ell specializes to the Level N genus phi_N. We introduce the cobordism ring Omega^{U,N} of stably almost complex manifolds with first Chern class divisible by N and characterize the kernel of phi_N by certain ideals in the rationalized ring Omega^{U,N}. In Chapter 1, we construct a base sequence W_1, W_2, W_3, ... of the rational cobordism ring Omega^U on which phi_ell has the values A, B, C, D, and 0 for W_i with i>=5. In Chapter 2, phi_ell and phi_N are investigated and the main results are proven. Chapter 3 contains the further result that the level N genus is invariant under the blow up along a submanifold Y of a complex manifold X if the codimension of Y in X is congruent 1 modulo N.

研究の動機と目的

• 指向可能多様体およびスピン多様体に対して定義された楕円的特徴の理論を、U-構造をもつ複素多様体へ拡張すること。
• Γ₁(N)に関連するモジュラー形式とS¹-可換コボルディズムを用いて、複素楕円的特徴の特徴付けを確立すること。
• 普遍的複素楕円的特徴がS¹作用に関して整数的かつ剛性を示すことを証明し、実およびスピンの場合の結果を一般化すること。
• 有効なS¹作用をもつ多様体によって生成されるコボルディズムイデアルの観点から、複素楕円的特徴の核を調査すること。
• 特徴的べき級数と可換指数論を用いて、特徴のコhomological解釈を提供すること。

提案手法

• 論文は、fを楕円積分の逆関数とするとき、特徴的べき級数Q(x) = x/f(x)に関連する複素楕円的特徴φ_ellを定義する。
• S¹-可換コボルディズム論を用いて、円群の複素多様体への作用を研究し、これと可換シグネチャを関連付ける。
• 特徴はΓ₁(N)のモジュラー形式の値をとることを示し、形式的群法則を介して、Ω_*^U ⊗ ℂからM_*(Γ₁(N))への普遍的特徴の写像が成り立つ。
• 特に、第1チャーン類がNで割り切れるという条件に注目して、特徴的類およびチャーン類の理論を用いる。
• Hirzebruchの講義の結果を応用し、OchanineとWittenの楕円的特徴に関する研究を複素設定へ拡張する。
• 剛性の証明は、可換指数の構造とS¹作用における固定点データの挙動に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指向可能多様体およびスピン多様体から、U-構造をもつ複素多様体へ楕円的特徴の理論をどのように拡張できるか。
• RQ2 S¹-可換コボルディズムは、複素楕円的特徴の特徴付けにおいて果たす役割は何か。
• RQ3 複素楕円的特徴が整数的である条件は何か。第1チャーン類の可除性とどのように関係するか。
• RQ4 有効なS¹作用をもつ多様体によって生成されるコボルディズムイデアルの観点から、複素楕円的特徴の核は何か。
• RQ5 特徴のモジュラー性は、可換シグネチャおよび自由ループ空間の構造とどのように関係するか。

主な発見

• 第1チャーン類がNで割り切れるとき、複素楕円的特徴φ_ellは整数的であり、スピンの場合の整数的条件を一般化する。
• 第1チャーン類がNで割り切れる複素多様体におけるS¹作用に関して、特徴は剛性を示す。これは、WittenとOchanineの剛性定理を複素設定に拡張するものである。
• 複素楕円的特徴の核は、有効なS¹作用をもつ連結な複素多様体によって生成されるイデアルとして特定される。これは実の場合と類似している。
• 特徴は、普遍的特徴が特徴的べき級数を介してΩ_*^U ⊗ ℂからM_*(Γ₁(N))への写像を成すことにより、合同部分群Γ₁(N)のモジュラー形式の値をとる。
• 構造群がU-構造と整合的に作用する場合、複素多様体をファイバーにもつファイバー束において、特徴は乗法的である。
• 自由ループ空間の可換シグネチャは、生成関数として解釈され、複素楕円的特徴と一致する。これは、Wittenの解釈を複素多様体へ拡張するものである。