[論文レビュー] Koopman Form of Nonlinear Systems with Inputs

Lucian Cristian Iacob, Roland Tóth+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、入力を伴う連続時間および離散時間の非線形システムに対して、Koopman表現を体系的に導出する。その結果、状態に依存する入力行列を有する線形パrameter変動型（LPV）モデルが得られ、標準的な線形時不変（LTI）Koopmanモデルが失敗するような場合でも、正確な記述が可能となる。主な貢献は、理論的根拠に基づいた正確なLPV Koopman定式化であり、非線形システムの正確なモデリングおよび制御を可能にするとともに、LTI Koopmanモデルの近似誤差を定量的に評価する。

ABSTRACT

The Koopman framework proposes a linear representation of finite-dimensional nonlinear systems through a generally infinite-dimensional globally linear embedding. Originally, the Koopman formalism has been derived for autonomous systems. In applications for systems with inputs, generally a linear time invariant (LTI) form of the Koopman model is assumed, as it facilitates the use of control techniques such as linear quadratic regulation and model predictive control. However, it can be easily shown that this assumption is insufficient to capture the dynamics of the underlying nonlinear system. Proper theoretical extension for actuated continuous-time systems with a linear or a control-affine input has been worked out only recently, however extensions to discrete-time systems and general continuous-time systems have not been developed yet. In the present paper, we systematically investigate and analytically derive lifted forms under inputs for a rather wide class of nonlinear systems in both continuous and discrete time. We prove that the resulting lifted representations give Koopman models where the state transition is linear, but the input matrix becomes state-dependent (state and input-dependent in the discrete-time case), giving rise to a specially structured linear parameter-varying (LPV) description of the underlying system. We also provide error bounds on how much the dependency of the input matrix contributes to the resulting representation and how well the system behaviour can be approximated by an LTI Koopman representation. The introduced theoretical insight greatly helps for performing proper model structure selection in system identification with Koopman models as well as making a proper choice for LTI or LPV techniques for the control of nonlinear systems through the Koopman approach.

研究の動機と目的

• 連続時間および離散時間の両方において、一般の非線形システムに制御入力を含めた場合の体系的なKoopman表現が欠如している問題に対処すること。
• 自律的でないシステムにまでKoopman形式を拡張する理論的に厳密なフレームワークを構築すること。
• 導出されたKoopmanモデルが、状態に依存する入力行列を有する線形パrameter変動型（LPV）であることを示し、高度なLPV制御手法の適用を可能にすること。
• 一般的に用いられるLTI Koopmanモデルの近似誤差を理論的に境界づけ、それらが真のシステムダイナミクスを捉えることの限界を明らかにすること。
• LPV表現がLTI表現よりも必要不可欠であるという理論的洞察を提供することで、Koopmanに基づくシステム同定および制御設計におけるモデル構造選択を支援すること。

提案手法

• 状態と入力を高次元空間に写像する観測関数を用いて、連続時間および離散時間の非線形システムに制御入力を含めた、持ち上げられたKoopman形式を導出する。
• 合成関数の微分法則および微積分の基本定理を適用し、Koopman状態遷移が線形のまま保たれることを示すが、入力行列は状態に依存する（離散時間では状態および入力に依存する）。
• 導出されたKoopmanモデルが、入力行列の状態変動に起因するパrameter依存性を有する特殊構造の線形パrameter変動型（LPV）システムであることを確立する。
• 微積分の基本定理に基づく因子分解補題を用いて、入力行列が偏微分の積分として表現可能であることを証明し、正確な表現が可能であることを示す。
• 数値的安定性およびシステム同定におけるモデル精度を向上させるために、Tikhonov正則化を施した正則化された拡張動的モード分解（EDMD）推定器を導入する。
• シミュレーションにおいて予測誤差を最小化するように、正則化パrameterのグリッドサーチを実施し、ベンチマーク非線形システム上でLTIおよびLPV Koopmanモデルを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の非線形システムに制御入力を含めた場合、連続時間および離散時間の両方において体系的なKoopman表現を導出可能か？
• RQ2 入力を含めた場合のKoopmanモデルの構造的形態は何か？ そして、標準的なLTI仮定とはどのように異なるか？
• RQ3 Koopmanモデルにおける入力行列の状態依存性は、LTI Koopmanモデルと比較して、表現の正確性にどの程度の影響を及えるか？
• RQ4 LTI Koopmanモデルの近似誤差を理論的に境界づけ、定量的に評価することは可能か？
• RQ5 導出されたLPV Koopmanモデルは、非線形システムに制御入力を含む場合のシステム同定および制御設計を改善するために利用可能か？

主な発見

• 入力を伴う非線形システムのKoopmanモデルは、本質的に状態に依存する入力行列を有する線形パrameter変動型（LPV）システムである。これは、標準的なLTI Koopmanモデルよりも正確な表現である。
• 提案されたLPV Koopmanモデルは、数値シミュレーションにより、機械精度にまで正確に元の非線形システムのダイナミクスを再現できることを示した。
• LTI Koopmanモデルは一般的に用いられているが、非線形性および入力変動が強い場合には、非可逆的でないが顕著な近似誤差を生じる。特に入力行列が定数でない場合に顕著である。
• Tikhonov正則化を施した正則化EDMDは、数値的安定性およびモデル精度を向上させるが、元のモデルがLPVである場合には正確なダイナミクスを回復できない。
• LTI Koopmanモデルにおける観測関数の数を増やすことは、近似品質の著しい向上をもたらさず、逆に不安定性や誤った固有値を引き起こす可能性がある。
• シミュレーション結果は、特にマルチサイナおよびホワイトノイズ入力下において、LPV KoopmanモデルがLTIモデルを上回ってシステムダイナミクスを捉えられることを確認した。LTIモデルでは真の挙動を表現できない場合が多かった。