[論文レビュー] Koopman Operator Family Spectrum for Nonautonomous Systems - Part 1

Senka Mačešić, Nelida Črnjarić-Žic+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、基本行列と適応的観測変数選択を活用して、線形非-autonomous力学系におけるKoopman作用素族のスペクトルをデータ駆動で計算するアルゴリズムを提案する。標準的なアーノルド型手法が時間微分に起因する固有値近似誤差のため失敗することを明らかにし、非線形共役観測変数を用いたアルゴリズム2を導入することで、ハイブリッド系および連続時間系において正確な固有値回復を達成する高精度な結果が得られた。

ABSTRACT

For every non-autonomous system, there is the related family of Koopman operators $\mathcal{K}^{(t,t_0)}$, parameterized by the time pair $(t,t_0)$. In this paper we are investigating the time dependency of the spectral properties of the Koopman operator family in the linear non-autonomous case and we propose an algorithm for computation of its spectrum from observed data only. To build this algorithm we use the concept of the fundamental matrix of linear non-autonomous systems and some specific aspects of Arnoldi-like methods. In particular, we use Arnoldi-like methods on local data stencils, we exploit the information contained in the Krylov subspace projection error, and discover limitations in the application of Arnoldi-like methods to cases with continous time dependency. We present results of this data-driven algorithm on various linear non-autonomous systems, hybrid as well as continuous in time. In all the examples comparison with exact eigenvalues and eigenfunctions shows excellent performance of the proposed algorithm.

研究の動機と目的

• 線形非-autonomous系におけるKoopman作用素族スレクトルをデータ駆動で計算するアルゴリズムの開発。
• 時間依存Koopman作用素の近似に失敗する標準的アーノルド型手法の原因を特定・解消し、時間微分に起因する固有値誤差を解消する。
• Krylov部分空間射影誤差を用いてハイブリッド系におけるスイッチングイベントを検出する手法の形式化。
• 連続的に時間依存する系において正確なスペクトル計算を可能にする新たな観測変数変換戦略の設計。
• 提案アルゴリズムがハイブリッド系および連続時間系の線形非-autonomous系において、正確な固有値との比較を通じて妥当性を検証すること。

提案手法

• 定理1で確立された理論的関係により、Koopman作用素族は、対応する線形非-autonomous系の基本行列族と関連づけられる。
• アルゴリズム1は、移動ステンシルにおけるKrylov部分空間射影誤差を用いて、ハイブリッド系における行列スイッチングの発生時刻を検出する。
• 局所的データステンシルにアーノルド型手法を適用し、誤差解析により射影誤差が支配行列のスイッチングを示すことを明らかにする。
• アルゴリズム2は、式(54)の形、例えば $ u_1 = \frac{x_1 + i x_3}{\text{norm}} $ のような非線形共役観測変数を導入し、固有値の実部または虚部を分離する。
• 新しい観測変数により、2スナップショットステンシルが、定数行列仮定の制限を回避するのに十分な情報を含むことが保証される。
• アーノルド型手法が、特に固有値の微分が非ゼロである場合に、時間依存行列に対して失敗することを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ標準的アーノルド型手法は、時間依存非-autonomous系におけるKoopmanスレクトルを正確に近似できないのか？
• RQ2 ハイブリッド線形非-autonomous系におけるスイッチングイベントを検出するために、Krylov部分空間射影誤差はどのように利用できるか？
• RQ3 連続的に時間依存する系において正確なKoopmanスレクトル計算を可能にするために必要な観測変数変換は何か？
• RQ4 データ駆動的アルゴリズムは、スパarsな時系列データから線形非-autonomous系の正確なKoopman固有値および固有関数を回復できるか？
• RQ5 時間依存行列を有する系において、Koopman固有値近似の誤差の性質は何か？また、系の複雑さに伴いどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• 非線形共役観測変数を用いた提案されたアルゴリズム2は、ハイブリッド系および連続時間系の両方において、正確なKoopman固有値をほぼ完璧に回復し、数値結果において正確値からのずれが見られない。
• 標準的DMDおよびアーノルド型手法は、時間依存系において顕著な固有値近似誤差を生じる。特に、固有値が純虚数である場合、実部の誤差が顕著に現れ、これは非ゼロの時間微分に起因する。
• 固有値近似誤差は、固有値の時間微分に比例し、時間刻みを小さくしても減少しないことから、時間変化行列とは根本的に不適合であることが示された。
• ハイブリッド系におけるスイッチング点でKrylov部分空間射影誤差が増加し、行列遷移の検出が可能となり、これがアルゴリズム1の基盤となる。
• 例えば $ u_1 = \frac{x_1 + i x_3}{\text{norm}} $ のような観測変数の使用により、実部と虚部が効果的に分離され、最小限のデータステンシルから固有値の正確な再構成が可能となった。
• カップリングされた振動子を含むすべての数値例において、連続的な周波数変化を伴う系でも、提案されたアルゴリズムが標準的手法を上回り、数値精度内で正確な固有値と一致することが確認された。