[論文レビュー] Koopman Operator Spectrum and Data Analysis

Igor Mezić|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 13被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、Koopman作用素理論を用いて非線形力学系のスペクトル枠組みを構築し、一般化およびオープン固有関数を導入して、ゼロレベル集合を用いて安定・不安定・中心多様体を特徴づける。限界循環子およびトーラスを有する系に対して、変調されたFock空間を用いてスペクトル展開を確立し、データ解析のための新しい定義である等安定性および一貫性のある主次元を導入する。

ABSTRACT

We examine spectral operator-theoretic properties of linear and nonlinear dynamical systems with globally stable attractors. Using the Kato Decomposition we develop a spectral expansion for general linear autonomous dynamical systems with analytic observables, and define the notion of generalized eigenfunctions of the associated Koopman operator. We interpret stable, unstable and center subspaces in terms of zero level sets of generalized eigenfunctions. We then utilize conjugacy properties of Koopman eigenfunctions and the new notion of open eigenfunctions - defined on subsets of state space - to extend these results to nonlinear dynamical systems with an equilibrium. We provide a characterization of (global) center manifolds, center-stable and center-unstable manifolds in terms of joint zero level sets of families of Koopman operator eigenfunctions associated with the nonlinear system.After defining a new class of Hilbert spaces, that capture the on and off attractor properties of dissipative dynamics, and introduce the concept of Modulated Fock Spaces}, we develop spectral expansions for a class of dynamical systems possessing globally stable limit cycles and limit tori, with observables that are square-integrable in on-attractor variables and analytic in off-attractor variables. We discuss definitions of stable, unstable and global center manifolds in such nonlinear systems with (quasi)-periodic attractors in terms of zero level sets of Koopman operator eigenfunctions. We define the notion of isostables for a general class of nonlinear systems. We provide a simple example of a measure-preserving system that is not chaotic but has continuous spectrum, and discuss experimental observations of spectrum on such systems. We define the coherent principal dimension for a class of datasets based on the lattice-type principal spectrum of the associated Koopman operator.

研究の動機と目的

• 線形から非線形力学系へスペクトル分解を拡張し、Koopman作用素理論を用いて、全域的に安定な平衡点を有する系に対して適用する。
• Koopman固有関数の共同ゼロレベル集合を用いて、不変多様体（中心、中心安定、中心不安定）を特徴づける。
• 吸引子上および吸引子外のダイナミクスを捉える、変調されたFock空間としての新しいヒルベルト空間のクラスを定義する。
• 固有関数のゼロレベル集合を用いて、(準)周期的吸引子を有する非線形系へ等安定性の概念を一般化する。
• Koopman作用素のラティス型スペクトルに基づく一貫性のある主次元メトリクスを導入し、データ解析に応用する。

提案手法

• 線形非摂動系に解析的観測量を適用する際、Kato分解を用いてスペクトル展開を導出する。
• 線形系におけるスペクトル分解の解として、Koopman作用素の一般化固有関数を導入する。
• 状態空間の部分集合上で定義されるオープン固有関数を用いて、平衡点を有する非線形系へのスペクトル理論の拡張を実現する。
• Koopman固有関数の共役性の性質を活用し、線形系と非線形系のダイナミクスを関連付ける。
• 限界循環子およびトーラスを有する系のスペクトル展開をサポートする変調されたFock空間を構築する。
• 等安定性をKoopman固有関数のレベル集合として定義し、線形系や平衡点系を超える非線形・(準)周期的系へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Koopman作用素のスペクトル分解は、平衡点を有する非線形系へどのように拡張可能か？
• RQ2 Koopman固有関数のゼロレベル集合は、非線形系における安定・不安定・中心多様体をどのように特徴づけるか？
• RQ3 散逸系において、吸引子上および吸引子外のダイナミクスを符号化するためのヒルベルト空間はどのように構築可能か？
• RQ4 非カオス的・測度保存系における連続スペクトルの役割は何か？そして、観測可能ダイナミクスとどのように関係するか？
• RQ5 Koopman作用素のラティス型主スペクトルは、データセットに対して一貫性のある主次元を定義するためにどのように利用可能か？

主な発見

• 一般化およびオープン固有関数を用いて、Koopman作用素のスペクトル分解が平衡点を有する非線形系へ拡張された。
• 線形系において、安定・不安定・中心部分空間は、一般化固有関数のゼロレベル集合として解釈される。
• 非線形系における中心・中心安定・中心不安定多様体は、Koopman固有関数の族の共同ゼロレベル集合として特徴づけられる。
• 変調されたFock空間は、限界循環子およびトーラスを有する系のスペクトル展開をサポートする、新しいヒルベルト空間のクラスとして導入された。
• 等安定性は、Koopman固有関数のレベル集合として定義され、線形系や平衡点系を超える一般化された非線形・(準)周期的系へ拡張された。
• Koopman作用素の主スペクトルのラティス型構造に基づく一貫性のある主次元が定義され、データ駆動型次元削減が可能となった。