[論文レビュー] Koopman Operator Theory for Nonlinear Dynamic Modeling using Dynamic Mode Decomposition

Gregory F. Snyder, Zhuoyuan Song|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、非線形力学系の有限次元線形モデルを近似するために、拡張動的モード分解（EDMD）を用いたコープマン作用素理論を提案する。これにより、局所的線形化を伴わずに線形制御設計が可能になる。状態変数は多項式またはフーリエ基底関数を用いて高次元空間に挙上され、倒立振子およびカートポール系における数値シミュレーションでは、周期的系に対して優れた再構成忠実度が得られるが、高く結合された一時的ダイナミクスでは性能が劣化する。

ABSTRACT

The Koopman operator is a linear operator that describes the evolution of scalar observables (i.e., measurement functions of the states) in an infinitedimensional Hilbert space. This operator theoretic point of view lifts the dynamics of a finite-dimensional nonlinear system to an infinite-dimensional function space where the evolution of the original system becomes linear. In this paper, we provide a brief summary of the Koopman operator theorem for nonlinear dynamics modeling and focus on analyzing several data-driven implementations using dynamical mode decomposition (DMD) for autonomous and controlled canonical problems. We apply the extended dynamic mode decomposition (EDMD) to identify the leading Koopman eigenfunctions and approximate a finite-dimensional representation of the discovered linear dynamics. This allows us to apply linear control approaches towards nonlinear systems without linearization approximations around fixed points. We can then examine the fidelity of using a linear controller based on a Koopman operator approximated system on under-actuated systems with basic maneuvers. We demonstrate the effectiveness of this theory through numerical simulation on two classic dynamical systems are used to show DMD methods of evaluating and approximating the Koopman operator and its effectiveness at linearizing these systems.

研究の動機と目的

• 非線形力学系をデータ駆動的にモデル化するためのアプローチを、コープマン作用素フレームワークを用いて開発すること。
• 局所的線形化の限界を克服するため、非線形ダイナミクスを進化が近似的に線形となる高次元空間に挙上すること。
• 多項式やフーリエ関数などのさまざまな挙上関数（多項式、フーリエ）を用いたEDMDの性能を、システムダイナミクスの再構成に評価すること。
• アンダーアクチュエート系において、コープマン近似から導かれた線形制御則の忠実度を評価すること。
• 特に結合的かつ一時的なダイナミクスを示す系において、コープマンベースのモデリングに特有の課題を特定すること。

提案手法

• 多項式やフーリエ基底関数などの観測関数を用いて、非線形系の状態空間を挙上し、ダイナミクスを高次元関数空間に埋め込む。
• 時間系列データのスナップショットから、拡張動的モード分解（EDMD）を適用して、コープマン作用素の有限次元近似を計算する。
• 計算されたコープマン作用素を用いて、挙上空間における線形進化により、システムの軌道を再構成する。
• 制御なしとLQR制御ありのデータを比較し、制御入力がモデル忠実度に与える影響を評価する。
• 複数の挙上基底（一次および二次多項式、フーリエ）を用いて性能を評価し、異なるシステムタイプに最適な関数集合を特定する。
• コープマン近似されたシステムに線形制御技術（例：LQR）を適用し、局所的線形化を伴わずに制御則を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 EDMDを用いたコープマン作用素近似は、倒立振子やカートポールのような非線形系を効果的に線形化できるか？
• RQ2 挙上関数の選択（多項式対フーリエ）が、システムダイナミクスの再構成精度にどのように影響するか？
• RQ3 制御入力を組み込む（DMDc/EDMDcを用いて）ことで、制御なしデータに比べてコープマンベースのシステム再構成の忠実度が向上するか？
• RQ4 結合的で複雑な結合性を持つ系において、コープマンベースの線形モデルが一時的および周期的挙動をどの程度保持できるか？
• RQ5 高次元で結合的かつ周期的でないダイナミクスを示す系に適用した場合、コープマンベースのモデリングにどのような限界があるか？

主な発見

• 倒立振子系では、多項式またはフーリエ挙上を用いたEDMDにより、特に制御ありデータの場合に高い再構成忠実度が得られた。
• 二次多項式またはフーリエ基底を用いたEDMDは、基本的なDMDに比べて再構成精度が向上し、特に周期的挙動に対して顕著であった。
• カートポール系では、結合的かつ一時的なダイナミクスと高い自由度のため、再構成誤差が顕著に顕在した。
• 制御ありカートポールデータでは再構成が部分的に改善されたが、より単純な振り子系ほど顕著な改善は得られなかった。
• 振り子系においては、フーリエまたは多項式基底の次数を二次以上に引き上げても、再構成精度のさらなる向上は観察されなかった。
• LQRに基づく制御入力は再構成プロセスの安定化に寄与したが、初期の一時的応答を完全に捉えきれず、滑らかな制御入力やより適切な基底選択の必要性を示唆した。