[論文レビュー] Koopman principle eigenfunctions and linearization of diffeomorphisms

Ryan Mohr, Igor Mezić|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、複素数の有限次元バナッハ空間における双曲的固定点の近傍で非線形微分同相を線形化する位相的同相性と、Koopman作用素の固有関数との間の関係を確立する。Koopman作用素の固有関数からなる主代数を構築することで、非線形系の連続的観測量がスペクトル展開を持つ関数によって一様近似可能であることを示し、Stone-Weierstrassの定理により、同相性下での引き戻し代数が密度性を保つことが保証される。

ABSTRACT

This paper considers a nonlinear dynamical system on a complex, finite dimensional Banach space which has an asymptotically stable, hyperbolic fixed point. We investigate the connection between the so-called principle eigenfunctions of the Koopman operator and the existence of a topological conjugacy between the nonlinear dynamics and its linearization in the neighborhood of the fixed point. The principle eigenfunctions generate an algebra of observables for the linear dynamics --- called the principle algebra --- which can be used to generate a sequence of approximate conjugacy maps in the same manner as it is done in normal form theory. Each element of the principle algebra has an expansion into eigenfunctions of the Koopman operator and composing an eigenfunction with one of the approximate topological conjugacies gives an approximate eigenfunction of the Koopman operator associated with the nonlinear dynamical system. When the limit of the approximate conjugacies exists and attention is restricted to real Banach spaces, a simple application of the Stone-Weierstrass theorem shows that both the principle algebra and the pull-back algebra --- defined by composing the principle algebra with the topological conjugacy --- are uniformly dense in either the space of continuous functions or the maximal ideal of continuous functions vanishing at the fixed point. The point is that, a priori, it is difficult to know which space of observables to use for dissipative nonlinear dynamical systems whose elements have spectral expansions into eigenfunctions. These results say that any continuous observable is arbitrarily close to one that has such an expansion.

研究の動機と目的

• 非線形微分同相とその双曲的固定点近傍における線形化との間の位相的同相性の存在と、Koopman主固有関数との関係を調査すること。
• Koopman作用素の固有関数へのスペクトル展開を有するすべての要素を持つ、連続関数の部分代数が存在するかどうかを特定すること。
• 位相的同相性の下で、線形系の主代数と非線形系の引き戻し代数との関係を分析すること。
• 実バナッハ空間の仮定と固定点のコンパクト近傍の制限のもとで、主代数の一様閉包が連続関数空間、または固定点で消失する最大イデアルに一様に稠密である条件を示すこと。

提案手法

• 本稿は、双曲的固定点における線形化された微分同相のKoopman作用素の固有関数からなる主代数を構築する。
• 正規形理論を用いて、バナッハ空間値多項式による座標変換の列を生成し、高次の項まで段階的に線形化する。
• 非共鳴条件の下で収束を保証するように、テンソル積を用いた主代数とバナッハ空間の組み合わせにより、位相的同相性を反復的に構築する。
• 引き戻し代数は、同相性写像の逆写像と主代数の関数を合成することで形成され、同相性下でも固有関数構造が保存される。
• コンパクト近傍におけるStone-Weierstrassの定理を適用し、主代数およびその引き戻し代数が連続関数空間において一様に稠密であることを確立する。
• 本手法は、観測量のスペクトル展開と、同相性下での固有関数の不変性に依存しており、任意の連続的観測量がスペクトル分解を持つ関数によって近似可能であることを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態空間上の連続関数の部分代数が存在するか。そのすべての要素が、線形化された系のKoopman固有関数へのスペクトル展開を持つ。
• RQ2 位相的同相性が存在する場合、非線形系に対しても同様に成り立つか。
• RQ3 このような同相性の下で、線形系の主代数と非線形系の引き戻し代数との関係は何か。
• RQ4 主代数の一様閉包が、連続関数空間または固定点で消失する最大イデアルに一様に稠密であるための条件は何か。
• RQ5 非線形系の任意の連続的観測量は、Koopman固有関数へのスペクトル展開を持つ関数によって一様近似可能か。

主な発見

• Koopman作用素の主固有関数は、すべての要素にスペクトル展開を可能にする可換代数（主代数）を生成する。
• 系が実で有限次元であり、正規形理論によって同相性が構築される場合、主代数は点を分離し、複素共役に関して閉じている。
• 固定点のコンパクト近傍上で、主代数の一様閉包は、定数関数を含む場合には複素連続関数空間に等しく、そうでない場合には固定点で消失する連続関数の最大イデアルに等しい。
• 引き戻し代数は、主代数と同相性写像の逆写像の合成により形成され、同じ一様閉包性質を継承するため、引き戻し代数のすべての要素もスペクトル展開を持つ。
• 非線形系の任意の連続的観測量は、引き戻し代数の関数によって一様近似可能であり、これはKoopman固有関数へのスペクトル展開を持つ関数による近似を意味する。
• 構成法により、同相性が存在する場合、線形系から非線形系へスペクトル構造を転送でき、任意の連続的観測量に対してスペクトル表現が可能になることが保証される。