[論文レビュー] Koopman Representations of Dynamic Systems with Control

Craig Bakker, W. Steven Rosenthal+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、非線形制御力学系の線形でデータ駆動型のモデリングを可能にするために、状態と制御入力を同時に観測するハイブリッド・クープマン表現を導入する。導出された制約を通じて力学的整合性を保証することで、従来の定式化よりも広いクラスの系を扱える一方で、クープマン作用素が状態および制御に依存しないままに保たれ、モデル誤差が低減するための効果的な線形制御設計が可能になる。

ABSTRACT

The design and analysis of optimal control policies for dynamical systems can be complicated by nonlinear dependence in the state variables. Koopman operators have been used to simplify the analysis of dynamical systems by mapping the flow of the system onto a space of observables where the dynamics are linear (and possibly infinte). This paper focuses on the development of consistent Koopman representations for controlled dynamical system. We introduce the concept of dynamical consistency for Koopman representations and analyze several existing and proposed representations deriving necessary constraints on the dynamical system, observables, and Koopman operators. Our main result is a hybrid formulation which independently and jointly observes the state and control inputs. This formulation admits a relatively large space of dynamical systems compared to earlier formulations while keeping the Koopman operator independent of the state and control inputs. More generally, this work provides an analysis framework to evaluate and rank proposed simplifications to the general Koopman representation for controlled dynamical systems.

研究の動機と目的

• クープマン作用素理論を制御力学系に適用する課題に取り組むこと。非線形依存性が最適制御設計を複雑にするためである。
• 離散時間および連続時間系における制御入力を有するクープマン表現の力学的整合性条件を定義および形式化すること。
• 一般の制御力学系クラスをモデル化する能力、およびモデル誤差を生じさせない能力に基づいて、既存および提案されたクープマン定式化を評価および順位付けすること。
• 状態と制御入力を独立的および同時に観測するハイブリッド・クープマン定式化を構築し、より広範な一般性を実現するとともに、クープマン作用素が状態および制御に依存しないように保つこと。

提案手法

• クープマン表現が制御力学系のフローを正確に捉えられるかどうかを評価するための整合性条件フレームワークを導入する。
• 離散時間および連続時間両方の定式化において、系のダイナミクス、観測関数、およびクープマン作用素に必要な制約を導出する。
• 観測関数が状態 $x$ および制御 $u$ の両方の関数であるハイブリッド・クープマン表現を提案し、整合性を保つために $\psi_{xu}(x,0) = 0$ を満たすようにする。
• 制御依存ダイナミクスをクープマン作用素に結びつけるために、条件 $\psi_{xu}(x,u) = (K(u) - K(0))\psi_x(x)$ を用いる。これにより、状態を含む観測関数が可能になる。
• 既存の定式化（例：Williamsら [7]、Proctorら [6]）をこのフレームワーク内に組み込み、その一般性と制約を比較する。
• 状態を含む観測関数に依存する定式化（例：式 (23)）は、すべての $x,u$ に対して $G(x)f(u) = 0$ を満たすという強い制約を課すことが示され、$G(x)$ の核空間内に制御入力が存在する系にしか適用できないことがわかる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間および連続時間の両方において、クープマン表現が制御力学系のフローを正確に表現できる条件は何か？
• RQ2 制御入力が状態に依存する非線形系を表現する能力において、既存のクープマン定式化はどのように異なっているか？
• RQ3 クープマン表現における状態を含む観測関数を使用する際に生じる制約とは何か？ そして、それらが系の一般性にどのように制限を加えるか？
• RQ4 状態と制御入力を同時に観測するハイブリッド定式化は、クープマン作用素が状態および制御に依存しないままに、より広い表現能力を達成できるか？
• RQ5 異なる表現定式化を用いた場合、クープマンベースの制御において、計算効率とモデル忠実度の間にはどのようなトレードオフがあるか？

主な発見

• 状態と制御入力を独立的および同時に観測するハイブリッド定式化は、クープマン作用素が状態および制御に依存しないままに、従来の定式化よりもはるかに広いクラスの力学系を扱える。
• 状態を含む観測関数に依存する定式化（例：式 (23)）は、すべての $x,u$ に対して $G(x)f(u) = 0$ を満たす必要があり、これは $G(x)$ の核空間内に制御入力が存在する系にしか適用できないという強い制約を課す。
• Williamsら [7] の定式化は、提案されたハイブリッドフレームワーク（式 (45)）の特殊ケースであることが示され、非線形制御依存性を扱えるようになり、より一般性が向上する。
• 整合性条件（93）および（94）は、モデル誤差を生じさせずに真の系ダイナミクスを捉えられるかどうかを評価する形式的なフレームワークを提供する。
• データ駆動型のクープマン作用素の近似には本質的に誤差が含まれるが、ハイブリッドアプローチのような制約が少ない定式化を用いることで、この誤差をよりよく保ちながら忠実度を維持できる。
• 提案されたフレームワークにより、力学的整合性および表現力に基づいてクープマン表現を体系的に評価および順位付けできるようになった。