[論文レビュー] Korovkin-type Theorems and Approximation by Positive Linear Operators

Francesco Altomare|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2010

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 79被引用数 95

ひとこと要約

このサーベイ論文は、近似理論におけるコロフキン型定理について、包括的で自己完結的な紹介を提供しており、連続関数空間およびL^p空間における恒等作用素への正線形作用素の収束に焦点を当てている。古典的結果を統合し、局所コンパクト空間および重み付き空間へと拡張し、補集合条件と曖昧収束を用いた離散レドン測度の新しい特徴付けを確立している。

ABSTRACT

This survey paper contains a detailed self-contained introduction to Korovkin-type theorems and to some of their applications concerning the approximation of continuous functions as well as of L^p-functions, by means of positive linear operators. The paper also contains several new results and applications. Moreover, the organization of the subject follows a simple and direct approach which quickly leads both to the main results of the theory and to some new ones.

研究の動機と目的

• 近似理論および関数解析の研究者を対象に、コロフキン型定理の統一的でアクセス可能な紹介を提供すること。
• 古典的コロフキン定理を単位区間を超えて局所コンパクト空間および重み付き関数空間へと拡張すること。
• 補集合条件と正の試験関数を用いて、離散レドン測度の新しい特徴付けを確立すること。
• 正線形作用素の連続関数およびL^p関数への近似への応用を調査すること。
• 正射影の役割とその収束性がディリクレ型問題の解法にどのように関与するかを検討すること。

提案手法

• 距離空間における統一的結果からコロフキンの第一および第二定理を導出し、多次元への拡張を可能にする。
• ベルンシュタイン、カントロヴィチ、フェージェール、サーシュ＝ミラクジャン、ガウス＝ヴァイエルシュトラウス作用素といった古典的作用素に理論を適用する。
• コロフキン集合の概念を用いて、局所コンパクト空間およびコンパクト空間におけるC_0(X)およびC(X)上での正線形作用素の収束を特定する。
• 試験関数が消える集合上で測度が消えることによる、レドン測度の補集合に基づく特徴付けを導入する。
• ウリゾーファの補題とコンパクト性の議論を用いて、指定された点で消え、測度ゼロ条件を満たす試験関数を構成する。
• 特に可分性条件のもとで、C_0(X)の双対空間における弱収束の観点から、レドン測度の曖昧収束を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C_0(X)またはC(X)上で、正線形作用素の列が恒等作用素に強く収束するための条件は何か？
• RQ2 さまざまな関数空間において、有限個の試験関数への作用でのみ測定可能な正作用素の収束を保証する条件は何か？
• RQ3 正の連続関数によって定義される特定の部分集合上で消えることによって、離散レドン測度がどのように特徴付けられるか？
• RQ4 C(X)上の正射影は、ディリクレ問題の解の近似とどのように関係するか？
• RQ5 レドン測度の曖昧収束が弱収束を意味するのはどのような状況か？また、有界な正測度の列が曖昧収束する部分列をもつのはいつか？

主な発見

• コロフキンの第一および第二定理は、ワイエルシュトラウス近似定理の代数的および三角関数的バージョンと同値である。
• C_0(X)上の正線形作用素の列が恒等作用素に強く収束するための必要十分条件は、点を分離し、無限遠で消えるコロフキン集合上で収束することである。
• 離散レドン測度は、その原子から離れたコンパクト集合上で積分がゼロになるという性質によって特徴付けられる。
• 空間X内の有限個の点に対して、正のレドン測度がその点の集合に正確に台を持つための必要十分条件は、その点で消え、それ以外の場所で正であるすべての連続関数に対して測度がゼロになることである。
• 可算基底をもつ局所コンパクト空間では、正のレドン測度の空間における任意の有界列は、ある極限測度に曖昧収束する部分列をもつ。
• 正のレドン測度μの台は、μ(f) = 0 となるすべてのf ∈ C_0(X)がY上で消える最小の閉集合Yである。