[論文レビュー] Kostant Convexity for affine buildings

Petra Schwer|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2007

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、厚いアフィンビルディングに対してコスタントの凸性定理の類似を確立する。具体的には、基本アラクーブを中心とする再び（r）と、無限遠の部屋を中心とする再び（ρ）の合成写像が、特殊な頂点xのWeyl群軌道の逆像を、x+Q内のW.xの凸包へ写像することを証明する。主な結果は、ρ(r⁻¹(W.x)) = conv(W.x) ∩ (x+Q) であり、表現論的道具とコクセター複体幾何学を用いて、コスタントの定理をビルディングへと拡張する。

ABSTRACT

We prove an analogue of Kostants convexity theorem for thick affine buildings and give an application for groups with affine BN-pair. Recall that there are two natural retractions of the affine building onto a fixed apartment A: The retraction r centered at an alcove in A and the retraction $ρ$ centered at a chamber in the spherical building at infinity. We prove that for each special vertex x in A the set $ρ(r^{-1}(W.x))$ is a certain convex hull of W.x. The proof can be reduced to a statement about Coxeter complexes and heavily relies on a character formula for highest weight representations of algebraic groups.

研究の動機と目的

• 対称空間に対して元々示されたコスタントの凸性定理を、厚いアフィンビルディングの設定へと拡張すること。
• アフィンビルディングにおける2つの再びの合成写像の下でのWeyl群軌道の像に関する凸性結果を確立すること。
• アフィンビルディングの幾何的性質と表現論（特にガウセンとリッテルマンの最高重み表現の特徴式）を結びつけること。
• アフィンBN-ペアをもつ群における二重コセットの幾何的解釈を、ビルディング内の凸包を通じて与えること。
• Iwasawa分解およびサタケ同型写像の正値性に関する結果を、ビルディング論的設定へと一般化すること。

提案手法

• 2つの再びを定義する：固定されたアパートメントA内の基本アラクーブを中心とする再びrと、球面的ビルディング∂X内の無限遠の部屋を中心とする再びρ。
• 標準的再びrを用いて、AからビルディングへWeyl群軌道を引き上げ、次にρを適用して再びAへ写像する。
• 画像ρ(r⁻¹(W.x))が、W.xの凸包とコセットx+Qの共通部分集合に等しいことを証明する。ここでQは基本共重格子である。
• 最小および正に折りたたまれたギャラリーの分析を通じて、問題をコクセター複体に関する命題に還元する。
• ガウセンとリッテルマンの最高重み表現の特徴式を用いて、conv(W.x)内の各重みに至る固定型の正に折りたたまれたギャラリーの存在を示す。
• 超平面を介した反射性質に依拠して、ギャラリーにおける幾何的折りたたみ・展開技術を用い、A内の折りたたまれた経路をrおよびρの逆像に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コスタントの凸性定理は、厚いアフィンビルディングへ一般化可能か？
• RQ2 アフィンビルディングにおける再びrとρの合成写像の下で、Weyl群軌道の像は何か？
• RQ3 再びrとρはどのように作用し、アパートメント内で凸集合を生成するか？
• RQ4 群の作用におけるconv(W.x) ∩ (x+Q) の幾何的意義は何か？
• RQ5 アフィンBN-ペアをもつ群の文脈で、Ut′K ∩ KtK ≠ ∅ ならば t′K ∈ conv(W.tK) が成り立つか？

主な発見

• 任意の厚いアフィンビルディングX内の特殊な頂点xと固定されたアパートメントAに対して、画像ρ(r⁻¹(W.x))は、W.xの凸包とコセットx+Qの共通部分集合に等しい。
• この結果は、代数群から生じるか否かにかかわらず、すべての厚いアフィンビルディングに対して成り立つが、証明は表現論的結果に依存する。
• ガウセンとリッテルマンの特徴式により、conv(W.x)内の各重みに至る固定型の正に折りたたまれたギャラリーの存在が保証される。
• 再びρは二重コセットKtK（tK ∈ A）を凸包conv(W.tK)に写像する。これにより、二重コセットの交差の幾何的特徴づけが得られる。
• Ut′K ∩ KtK ≠ ∅ ⇒ t′K ∈ conv(W.tK) という含意は、ラポルトとシュヴァーによる結果により、サタケ同型写像の係数の正値性と同値である。
• 証明はコクセター複体に関する命題に還元され、凸性結果がビルディングの組合せ的・幾何的構造そのものに内在していることが示された。