[論文レビュー] Koszul complexes and spectra of projective hypersurfaces with isolated singularities

Alexandru Dimca, Morihiko Saito|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2012

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ひとこと要約

本稿は、特異点が孤立する場合の特異的代数的超曲面のホッジ理論の古典的結果を一般化し、極位相スペクトルとコクサルコホモロジーの商層のペーオー・シリーズの交代和を導入することで、その一般化を達成する。ミルナー代数の双対順序付きモジュールとその部分モジュールの間の双対性を確立し、極位相スペクトル列が $E_2$ で必ずしも退化しないことを示し、その非退化性はブリースコルンモジュールの torsion と関連している。

ABSTRACT

For a projective hypersurface $Z$ with isolated singularities, we generalize some well-known assertions in the nonsingular case due to Griffiths, Scherk, Steenbrink, Varchenko, and others about the relations between the Steenbrink spectrum, the Poincar\\'e polynomial of the Jacobian ring, and the roots of Bernstein-Sato polynomial for a defining polynomial $f$ up to sign forgetting the multiplicities. We have to use the pole order spectrum and the alternating sum of the Poincar\\'e series of certain subquotients of the Koszul cohomologies, and study the pole order spectral sequence. We show sufficient conditions for vanishing or non-vanishing of the differential $d_1$ of the spectral sequence, which are useful in many applications. We prove also symmetries of the dimensions of the subquotients of Koszul cohomologies, which are crucial for computing the roots of BS polynomials. We can deduce that the roots of BS polynomial whose absolute values are larger than $n-1-n/d$ are determined by the ``torsion part" of the Jacobian ring (modulo the roots of BS polynomial for $Z$) if all the singularities of $Z$ are weighted homogeneous. Here $d=\\deg f$ and $n$ is the dimension of the ambient affine space.

研究の動機と目的

• 非特異的射影的超曲面における混合ホッジ構造とスペクトルの古典的結果を特異的射影的超曲面へ拡張すること。
• 特異的場合においてミルナー代数とスティーブリンクスペクトルを、極位相スペクトルとコクサルコホモロジーの商層のペーオー・シリーズの交代和に置き換えること。
• 極位相スペクトル列の振る舞いを分析し、$E_2$ で退化しない可能性があることと、その非退化性がブリースコルンモジュールの torsion と関連していることの解明。
• 孤立特異点の場合の自己双対性を一般化し、$M'$, $M''$, $N$ の双対順序付きモジュール間の双対同型を確立すること。
• $V$-フィルトレーションが $N_p$ と $M''_p$ 上の $V$-フィルトレーションと整合するかを検討し、重み付き同次の場合の $V$-フィルトレーションの各層の明示的公式を提案すること。

提案手法

• 同次多項式 $f$ に関連するシフトされたコクサル複体 ${}^sK^ullet_f$ を導入し、そのコホモロジー $M = H^0({}^sK^ullet_f)$ と $N = H^{-1}({}^sK^ullet_f)$ を定義する。
• 一般の線形形式 $y$ が特異点集合に横断的であるとき、$M' = H^0_{f m}(M)$ を $y$-torsion 部分モジュールと定義し、$M'' = M/M'$ を定義する。
• シフトされたコクサル複体の自己双対性を用いて、$D_i(M') = M'(nd)$, $D_1(M'') = N(nd)$, $D_1(N) = M''(nd)$ という自然同型を導出し、順序付き双対性を確立する。
• 特異的場合のスティーブリンクスペクトルに代わる極位相スペクトル $\mathrm{Sp}_P$ を、コクサルコホモロジーの商層のペーオー・シリーズの交代和として定義する。
• 極位相スペクトル列を分析し、$E_2$ で必ずしも退化しないことを示し、その非退化性がブリースコルンモジュールの torsion と関連していることを示す。
• $\dim \mathrm{Gr}^\alpha_V N_p$ と $\dim \mathrm{Gr}^\alpha_V M''_p$ についての予想的な公式を $n_{Z,\alpha}$ と $n^1_{f,\alpha}$ を用いて提示し、非退化ニュートン境界の場合の乗数イデアルと微小局所的 $V$-フィルトレーションと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スティーブリンクスペクトルとミルナー代数のペーオー多項式との古典的関係を、孤立特異点を持つ射影的超曲面へどのように一般化できるか？
• RQ2 特異的状況下でミルナー代数とスティーブリンクスペクトルに代わるものは何か？また、極位相スペクトルはコクサルコホモロジーのコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ3 なぜ極位相スペクトル列は特異的状況下で $E_2$ で退化しないのか？また、ブリースコルンモジュールの torsion はその役割を果たすのか？
• RQ4 $V$-フィルトレーションが $N_p$ と $M''_p$ 上の $V$-フィルトレーションを介してガウス＝マニン系の $V$-フィルトレーションをどのように精緻化できるか？また、それらの層の双対性は期待されるか？
• RQ5 公式 $\dim \mathrm{Gr}^\alpha_V N_p = n^1_{f,\alpha+1}$ が成り立つ条件は何か？また、その公式はスペクトル列の非退化性とどのように関連しているか？

主な発見

• 極位相スペクトル $\mathrm{Sp}_P$ は、コクサルコホモロジーの商層のペーオー・シリーズの交代和として定義され、特異的状況下でスティーブリンクスペクトルに代わる。
• 極位相フィルトレーションに伴うスペクトル列は $E_2$ で必ずしも退化しないが、その非退化性はブリースコルンモジュールの torsion の存在と直接関連している。
• $D_0(M') = M'(nd)$, $D_1(M'') = N(nd)$, $D_1(N) = M''(nd)$ という双対同型は、孤立特異点の場合のミルナー代数の自己双対性を一般化する。
• $\mu_k'$, $\gamma_k$, $\nu_k$ は対称性 $\mu_k' = \mu_{nd-k}'$ と $\gamma_k = \gamma_{nd-k}$ を満たし、順序付き双対性を反映している。
• $f = xyz(x+y+z)$ の場合、極位相スペクトル $\mathrm{Sp}_P$ は $1,3,1,1,0,-3,0$ であり、スペクトル $\mathrm{Sp}$ は $1,3,0,1,0,-3,1$ である。古典的状況とは非自明な差異を示している。
• $f = x^2y^2 + z^4$ の場合、極位相スペクトル $\mathrm{Sp}_P$ は $1,1,2,1,0,-1,-1$ であり、スペクトル列は $E_2$ で退化しない。$\nu_7 \neq 0$ であるが、$\mu''_5 < 6$ ならば補題 (5.5) に反するため、$\mu''_5 = 6$ であると結論づけられる。