[論文レビュー] Koszul pairs. Applications

Pascual Jara, Javier López Peña+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、結合可能な連結なグレーディング付き環とコルンのペアとしてのコシュール対を導入し、環がコシュールであるための必要十分条件として、あるコルンとペアをなすことを示している。このようなペアに付随する完全な鎖複体および余鎖複体を関連させることで、コシュール性のホモロジー的基準を確立し、それを用いてコシュール環のねじれテンソル積が再びコシュールであることを証明。これはフローベルグの定理を一般化する。

ABSTRACT

Let $R$ be a semisimple ring. A pair $(A,C)$ is called almost-Koszul if $A$ is a connected graded $R$-ring and $C$ is a compatible connected graded $R$-coring. To an almost-Koszul pair one associates three chain complexes and three cochain complexes such that one of them is exact if and only if the others are so. In this situation $(A,C)$ is said to be Koszul. One proves that a connected $R$-ring $A$ is Koszul if and only if there is a connected $R$-coring $C$ such that $(A,C)$ is Koszul. This result allows us to investigate the Hochschild (co)homology of Koszul rings. We apply our method to show that the twisted tensor product of two Koszul rings is Koszul. More examples and applications of Koszul pairs, including a generalization of Fr\oberg Theorem, are discussed in the last part of the paper.

研究の動機と目的

• 半単純な基底環上での結合可能なグレーディング付き環とコルンのペアとしてのコシュール対を定義し、特徴づけること。
• 関連する鎖複体および余鎖複体の完全性を用いたコシュール性のホモロジー的基準を確立すること。
• 連結環がコシュールであるための必要十分条件として、ある連結コルンとペアをなすことが成り立つことを示すこと。
• コシュール環のホッフシュライブ（余）コホモロジーの計算・解析に理論を応用すること。
• 二つのコシュール環のねじれテンソル積が再びコシュールであることを示し、フローベルグの定理を一般化すること。

提案手法

• 半単純環 R 上の連結グレーディング付き R-環 A と、R に適合する連結グレーディング付き R-コルン C からなる、ほぼコシュール対 (A,C) を定義すること。
• 各ほぼコシュール対 (A,C) に対して、三つの鎖複体と三つの余鎖複体を関連させること。
• ペア (A,C) がコシュールであるための必要十分条件として、これらの複体のいずれかが完全であること（したがってすべてが完全であること）を示すこと。
• 完全性基準を用いて、連結 R-環 A がコシュールであるための必要十分条件が、ある連結 R-コルン C が存在して (A,C) がコシュール対であることを満たすことであることを証明すること。
• 理論を応用し、コシュール対の枠組みを用いてコシュール環のホッフシュライブ（余）コホモロジーを計算すること。
• この枠組みを用いて、二つのコシュール環のねじれテンソル積がコシュールであることを示し、フローベルグの定理を拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結グレーディング付き R-環 A がいつコシュールであり、その性質は適合するコルンを用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 関連する鎖複体および余鎖複体の完全性とペア (A,C) のコシュール性の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 コシュール性が、ペア (A,C) がコシュール対をなすような適合するコルンの存在によって同値に定義可能か？
• RQ4 コシュール対の枠組みは、コシュール環のホッフシュライブ（余）コホモロジーの研究をどのように支援するか？
• RQ5 二つのコシュール環のねじれテンソル積は再びコシュールであるか？そして、コシュール対理論を用いてこれを証明できるか？

主な発見

• 連結 R-環 A がコシュールであるための必要十分条件は、ある連結 R-コルン C が存在してペア (A,C) がコシュール対をなすことである。
• ペア (A,C) のコシュール性は、関連する鎖複体または余鎖複体のいずれかが完全であること（したがってすべてが完全であること）と同値である。
• 理論により、コシュール環のホッフシュライブ（余）コホモロジーの体系的かつ包括的な研究が可能になる。
• 二つのコシュール環のねじれテンソル積がコシュールであることが証明され、フローベルグの古典的結果がより広い代数のクラスへ一般化された。
• この枠組みにより、ねじれテンソル積の文脈におけるコシュール性のホモロジー的基準が提供され、フローベルグの定理が一般化された。