[論文レビュー] KPZ equation, its renormalization and invariant measures

Tadahisa Funaki, Jeremy Quastel|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2014

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、R上または周期的境界条件の下でKPZ方程式に対する新しい正則化を導入し、コール・ホプフ変換を用いて不変測度の研究を可能にする。この変換により、滑らかにしたノイズと追加の非線形項を含む確率的熱方程式が得られる。時間平均化と定常性の下で、この項は1/24の線形ドリフトに簡略化され、主要な結果が得られる：一様測度に従う高さシフトを持つ二重側幾何ブラウン運動の分布は、確率的熱方程式のダイナミクスのもとで不変である。

ABSTRACT

The Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation is a stochastic partial differential equation which is ill-posed because the nonlinearity is marginally defined with respect to the roughness of the forcing noise. However, its Cole-Hopf solution, defined as the logarithm of the solution of the linear stochastic heat equation (SHE) with a multiplicative noise, is a mathematically well-defined object. In fact, Hairer [13] has recently proved that the solution of SHE can actually be derived through the Cole-Hopf transform of the solution of the KPZ equation with a suitable renormalization under periodic boundary conditions. This transformation is unfortunately not well adapted to studying the invariant measures of these Markov processes. The present paper introduces a different type of regularization for the KPZ equation on the whole line $\mathbb{R}$ or under periodic boundary conditions, which is appropriate from the viewpoint of studying the invariant measures. The Cole-Hopf transform applied to this equation leads to an SHE with a smeared noise having an extra complicated nonlinear term. Under time average and in the stationary regime, it is shown that this term can be replaced by a simple linear term, so that the limit equation is the linear SHE with an extra linear term with coefficient 1/24. The methods are essentially stochastic analytic: The Wiener-Itô expansion and a similar method for establishing the Boltzmann-Gibbs principle are used. As a result, it is shown that the distribution of a two-sided geometric Brownian motion with a height shift given by Lebesgue measure is invariant under the evolution determined by the SHE on $\mathbb{R}$.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、KPZ方程式の不適切な定式化を解消するため、不変測度の解析に適した正則化を導入することにある。
• 標準的なコール・ホプフ変換の限界を乗り越え、KPZ型確率的偏微分方程式の長期的統計的挙動を研究することを目的としている。
• 目的は、特定の測度——一様分布に従う高さシフトを持つ幾何ブラウン運動——が、確率的熱方程式のダイナミクスのもとで不変であることを確立することにある。
• 研究の焦点は、正則化されたKPZ方程式の時間平均極限から自然に生じるこの不変測度を証明することにある。

提案手法

• 著者らは、滑らかにしたノイズと修正された非線形項を用いて、KPZ方程式の新しい正則化を導入する。
• 正則化されたKPZ方程式にコール・ホプフ変換を適用し、非線形補正項を含む確率的熱方程式に変換する。
• ウィener-イタ・カオス展開とボルツマン＝ギブズ原理に類似した議論を用いて、時間平均化と定常性の下で、非線形補正項が1/24の線形ドリフトに収束することを示す。
• この手法は、弱解の定式化や、緊密性と収束のためのマルティンゲール問題技法を含む確率解析的道具に依存している。
• 近似測度の緊密性を確立し、一意な極限測度への弱収束を証明する。
• 証明は、SPDEのもとでのねじれ過程の不変性に依拠し、一様測度の並進不変性を活用して、原点における結合過程の最終的な不変性結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KPZ方程式の正則化を構成できるか。その正則化により、関連するコール・ホプフ変換が扱いやすいSPDEに帰着され、不変測度が明示的に得られるか。
• RQ2 時間平均化と定常性の下で、コール・ホプフ変換を施したSPDEにおける非線形補正項の極限挙動はいかなるものか。
• RQ3 1/24の線形ドリフトを含む確率的熱方程式の不変測度は、一様分布に従う高さシフトを持つ幾何ブラウン運動に対応するか。
• RQ4 初期分布が一様分布に従う高さシフトを持つ二重側幾何ブラウン運動である場合、原点における高さ過程の分布はSPDEのダイナミクスのもとで不変か。
• RQ5 滑らかな近似と測度論的議論を用いて、原点における高さと空間過程の積測度の不変性を確立できるか。

主な発見

• 正則化されたKPZ方程式をコール・ホプフ変換すると、非線形補正項を含む確率的熱方程式が得られ、時間平均化と定常性の下でこの項は1/24の線形ドリフトに収束する。
• 確率的熱方程式の不変測度が、一様測度に従う高さシフトを持つ二重側幾何ブラウン運動の分布であることが示された。
• 初期分布が一様分布に従う高さシフトを持つ二重側幾何ブラウン運動である場合、原点における高さ過程の分布はSPDEのダイナミクスのもとで不変である。
• 原点における高さと空間過程の結合ダイナミクスのもとで、不変測度が滑らかな近似と一様測度の並進不変性を用いて保証された。
• 測度空間R × ˜C₊における積測度dh₀d˜µの不変性が証明され、˜µは˜C₊上の不変測度である。
• この結果により、KPZ方程式の長期的統計的挙動が特定の不変測度に支配されることを確認し、KPZ普遍性の物理的直観に厳密な基礎を与えた。