[論文レビュー] Krajewski diagrams and spin lifts

Thomas Schücker|ArXiv.org|Jan 21, 2005

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 2被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、中心拡大スピン被覆を組み込み、3つの物理的制約（アノマリー自由性（Yang-Millsおよび混合重力的）、小群下での複素フェルミオン表現、中性で質量ゼロのフェルミオン）を課すことにより、非可換幾何学における非可約かつ動的に非退化なほぼ可換スペクトル三重項の分類を精緻化する。主な結果として、唯一、クォークおよびレプトンが1世代で、色数が任意の値である標準模型がすべての条件を満たすことが示され、非可換幾何学内でのその一意性が確立される。

ABSTRACT

A classification of irreducible, dynamically non-degenerate, almost commutative spectral triples is refined. It is extended to include centrally extended spin lifts. Simultaneously it is reduced by imposing three constraints: (i) the condition of vanishing Yang-Mills and mixed gravitational anomalies, (ii) the condition that the fermion representation be complex under the little group, while (iii) massless fermions are to remain neutral under the little group. These constraints single out the standard model with one generation of leptons and quarks and with an arbitrary number of colours.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学における非可約かつ動的に非退化なほぼ可換スペクトル三重項の分類を、中心拡大スピン被覆を組み込むことにより精緻化すること。
• 3つの物理的動機付けられた制約（アノマリー自由性、小群下での複素フェルミオン表現、中性で質量ゼロのフェルミオン）を課すことにより、分類を簡略化すること。
• 非可換幾何学内での標準模型構造と整合するYang-Mills-Higgsモデルを同定すること。
• これらの制約のもとで、1世代および任意の色数をもつ標準模型が一意に成立することを確立すること。

提案手法

• $M_n(\mathbb{C})$代数における多値被覆の問題を避けるために、ユニタリではなく中心拡大自己同型を用いて分類を拡張する。
• 自己同型をヒルベルト空間に引き上げる際の$U(1)$の多値性障害を解消するために、中心拡大を適用する。
• 物理的制約を適用する：(i) Yang-Millsおよび混合重力的アノマリーの消滅、(ii) 小群下での複素フェルミオン表現、(iii) 小群に対して中性で質量ゼロのフェルミオン。
• 有限代数で、単純和成分が1つ、2つ、または3つの場合に限定し、非可約かつ動的に非退化な三重項に注目する。
• Krajewski図を用いて可能なスペクトル三重項を分類し、物理的に不適切なモデルを除外するための制約を課す。
• 導出された拡大被覆の表現論からフェルミオン質量スペクトルおよびゲージ群構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心拡大スピン被覆をもつほぼ可換スペクトル三重項の中で、アノマリー自由性および正しいフェルミオン表現性質を満たすのはどれか？
• RQ2 クォークおよびレプトンが1世代である標準模型が、この枠組みのもとで、中心拡大スピン被覆と物理的制約のもとで一意に導かれるか？
• RQ3 中心拡大自己同型は、$n \geq 2$ に対して $M_n(\mathbb{C})$ 代数における多値被覆問題をどのように解消するか？
• RQ4 小群はフェルミオン表現構造およびアノマリーキャンセレーションに果たす役割は何か？
• RQ5 この枠組み内での同様の物理的制約を満たす標準模型以外の代替モデルは存在するか？

主な発見

• すべての3つの制約（Yang-Millsおよび混合重力的アノマリーの消滅、小群下での複素フェルミオン表現、中性で質量ゼロのフェルミオン）を満たす唯一のモデルは、ゲージ群 $\frac{SU(2)\times U(1)\times SU(p)}{\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_p}$ および小群 $\frac{U(1)\times SU(p)}{\mathbb{Z}_p}$ をもつもので、$p \geq 3$ が奇数の場合である。
• $p$ が偶数の場合、モデル $\frac{SU(2)\times U(1)\times SU(p)}{\mathbb{Z}_p}$ も有効であり、さらに $p$ が偶数のとき、$SO(p)$ や $USp(p/2)$ を含む部分モデルも存在する。
• ヒッグス場は $SU(2)$ に対して二重項、$SU(p)$ に対して単項式であり、ハイパーチャージが $-q/2$ をとる。これは標準模型と整合的である。
• フェルミオン内容には、ハイパーチャージ $q/(2p)$ および $-q/2$ をもつ左ラムダ $\mathbf{2} \otimes \mathbf{p}$ および $\mathbf{p}$ マルチプレット、ハイパーチャージ $q(1\pm p)/(2p)$ をもつ右ラムダ $\mathbf{p}$ マルチプレット、およびハイパーチャージ $-q$ の単項式が含まれる。
• $p=3$ の場合、モデルはクォークおよびレプトンが1世代の標準模型に正確に還元され、この枠組み内での一意性が確認される。
• 他のすべての構成は、アノマリーキャンセレーションに違反するか、実または擬実フェルミオン表現をとるか、中性で質量ゼロのフェルミオン条件を満たさない。