[論文レビュー] Krasinkiewicz spaces and parametric Krasinkiewicz maps

Eiichi Matsuhashi, Vesko Valov|ArXiv.org|Feb 29, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$ Y $ が強く可数次元的または $ C $-空間であり、$ M $ が Krasinkiewicz 完備 $ ANR $-空間であるような完全写像 $ f: X \to Y $ に対して、源制限位相を備えた関数空間 $ C(X,M) $ が、各制限 $ g|f^{-1}(y) $ が Krasinkiewicz 写像であるような写像 $ g $ のなす稠密な $ G_\delta $-集合を含むことを確立する。この結果は、$ X $ が $ C $-空間である場合、$ M $ がバナッハ空間の閉凸部分集合であるときにも拡張可能である。

ABSTRACT

We say that a metrizable space $M$ is a Krasinkiewicz space if any map from a metrizable compactum $X$ into $M$ can be approximated by Krasinkiewicz maps (a map $g\colon X o M$ is Krasinkiewicz provided every continuum in $X$ is either contained in a fiber of $g$ or contains a component of a fiber of $g$). In this paper we establish the following property of Krasinkiewicz spaces: Let $f\colon X o Y$ be a perfect map between metrizable spaces and $M$ a Krasinkiewicz complete $ANR$-space. If $Y$ is a countable union of closed finite-dimensional subsets, then the function space $C(X,M)$ with the source limitation topology contains a dense $G_δ$-subset of maps $g$ such that all restrictions $g|f^{-1}(y)$, $y\in Y$, are Krasinkiewicz maps. The same conclusion remains true if $M$ is homeomorphic to a closed convex subset of a Banach space and $X$ is a $C$-space.

研究の動機と目的

• Krasinkiewicz 空間の特徴づけと、完全写像によるパラメトリック制限における安定性の解明。
• 関数空間 $ C(X,M) $ に、各ファイバー $ f^{-1}(y) $ への制限が Krasinkiewicz 写像であるような写像の稠密な $ G_\delta $-部分集合が存在することの確立。
• Krasinkiewicz 写像の理論を $ C $-空間および完全 $ ANR $-空間を含むパラメトリック設定に拡張すること。
• 源制限位相を備えた関数空間において Krasinkiewicz 写像が構成可能となる条件の同定。
• Krasinkiewicz 空間の位相的特徴づけを、Krasinkiewicz 部分空間の開被覆を通じて行うこと。

提案手法

• Krasinkiewicz 写像を、定義域内の任意の連続体が、あるファイバーに含まれるか、またはそのファイバーの成分を含むものとして定義する。
• 関数空間 $ C(X,M) $ に源制限位相を導入し、連続関数 $ \varepsilon: X \to (0,1] $ を用いて定義し、$ M $ が完備な距離空間である場合に Baire 性質を保証する。
• 各ファイバー $ f^{-1}(y) $ の成分が写像 $ g $ の下で部分連続体に一様に近づくような性質を捉えるために、集合 $ \mathcal{K}(m,n,y) $ を導入する。
• $ \mathcal{K}(H) = \bigcap_{m,n} \mathcal{K}(m,n,H) $ を証明し、目的とする集合の $ G_\delta $ 構造を示す。
• $ ANR $-拡張性質と開部分集合の Krasinkiewicz 性質を用いて、$ C(X,M) $ 内の集合 $ H_y $ の稠密性と開性を確立する。
• Baire のカテゴリー定理を適用し、稠密な $ G_\delta $-集合の交わりが稠密な $ G_\delta $-集合であることを結論づけ、主結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数空間 $ C(X,M) $ に、各ファイバー $ f^{-1}(y) $ への制限が Krasinkiewicz であるような写像のなす稠密な $ G_\delta $-集合が存在する条件は何か？
• RQ2 $ Y $ の位相的性質、特に強く可算次元的または $ C $-空間であることの、このような写像の存在に与える影響は何か？
• RQ3 パラメトリック Krasinkiewicz 写像の文脈において、$ K $-空間と $ ANR $-空間の関係は何か？
• RQ4 $ M $ がバナッハ空間の閉凸部分集合である場合、Krasinkiewicz 性質が完全写像下でも保存されるか？
• RQ5 どの空間が Krasinkiewicz 空間ではなくなるか、また、射影を Krasinkiewicz 写像で近似できないという位相的障害は何か？

主な発見

• 完全写像 $ f: X \to Y $ で $ Y $ が強く可算次元的であり、$ M $ が完備な $ ANR $-空間かつ Krasinkiewicz 空間であるとき、関数空間 $ C(X,M) $ は、各 $ g|f^{-1}(y) $ が Krasinkiewicz であるような写像 $ g $ のなす稠密な $ G_\delta $-集合を含む。
• この結果は、$ M $ がバナッハ空間の閉凸部分集合であり、$ X $ が $ C $-空間である場合にも成立し、$ Y $ が $ C $-空間であればよい。
• 完備な $ ANR $ が Krasinkiewicz 空間であるための必要十分条件は、Krasinkiewicz 部分空間による開被覆をもつことである。
• $ n \geq 1 $ のすべての $ n $-多様体、コンパクトな多面体、1次元のペアノ連結集合はすべて Krasinkiewicz 空間である。
• 完全に分解不能なコンtinuum は Krasinkiewicz 空間にはなり得ない。これは、ある開集合に弧を含まない $ Y $ に対して、$ p: Y \times \mathbb{I} \to Y $ の射影が Krasinkiewicz 写像で近似できないことから示される。
• $ Y $ が強く可算次元的または $ C $-空間である場合、孤立点を持たない完備な多面体 $ P $ に対して、関数空間 $ C(X,P) $ は、各 $ g|f^{-1}(y) $ が Krasinkiewicz かつ Bing であるような写像 $ g $ のなす稠密な $ G_\delta $-集合を含む。