[論文レビュー] Krein resolvent formulas for elliptic boundary problems in nonsmooth domains

Gerd Grubb|ArXiv.org|Oct 15, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 15被引用数 39

ひとこと要約

本稿では、非自己共役境界条件を備えた第二順位強楕円型作用素に対して、$C^{1,1}$-滑らかさを満たす領域上でのKreĭnのリゾルベント公式を、非滑らかな擬微分作用素境界作用素の計算を用いて拡張された$M$-関数形式論を用いて確立する。主な結果は、$M$-関数が Hölder-滑らかさを持つ記号を有する$-1$階の一般化された擬微分作用素であることが示され、非滑らか設定下での非自己共役拡張に対する完全なKreĭnの公式の成立が可能になる。

ABSTRACT

The paper reports on a recent construction of M-functions and Krein resolvent formulas for general closed extensions of an adjoint pair, and their implementation to boundary value problems for second-order strongly elliptic operators on smooth domains. The results are then extended to domains with $C^{1,1}$ Hölder smoothness, by use of a recently developed calculus of pseudodifferential boundary operators with nonsmooth symbols.

研究の動機と目的

• 非自己共役楕円型境界問題に対する$M$-関数およびKreĭnのリゾルベント公式の理論を、非滑らか領域へと拡張すること。
• 特に$C^{1,1}$-正則境界に対して、$M$-関数の体系的枠組みが欠如している状況に対処すること。
• 非滑らかな記号を有する擬微分作用素境界作用素の最近の計算理論を応用し、$M$-関数を一般化された擬微分作用素として構成すること。
• パrameter-楕円性およびHölder正則性の仮定の下で、外部領域や摂動された半空間を含む非滑らか領域においても、Kreĭnのリゾルベント公式の有効性を確立すること。

提案手法

• 閉作用素$A_{\min}$, $A'_{\min}$の対としての抽象的枠組みを用い、$A_\gamma$が可逆であることを仮定する。
• 抽象的グリーンの公式を適用し、核空間$Z$および$Z'$上に定義された作用素$T$を介して、リゾルベント差と$M$-関数を関連付ける。
• Abels [3]の非滑らか擬微分作用素境界作用素の計算を用い、$C^{1,1}$-正則境界を扱い、$M_L(\lambda)$を一般化された$\psi$doとして定義する。
• 時間周期的拡張$\widehat{\Omega} = \Omega \times S^1$上での系$\mathcal{A}(\lambda) = \begin{pmatrix} A - \lambda \\ \nu_1 - C\gamma_0 \end{pmatrix}$のパラメトリクスを構成し、$\lambda$依存の解析を可能にする。
• スペクトル線上の$L^\lambda = C - P^{\lambda}_{\gamma_0,\nu_1}$のパラメータ-楕円性を用いて、大きな$\lambda$に対して$L^\lambda$の可逆性を保証し、$M_L(\lambda) = -(L^\lambda)^{-1}$を導出する。
• Agmonの原理と記号計算を適用し、$C$が$C^{0,1}$-正則性を有する一階微分作用素であるとき、$M_L(\lambda)$がHölder-滑らかさを持つ記号を有する$-1$階の一般化された擬微分作用素であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己共役拡張を有する強楕円型作用素に対して、$C^{1,1}$-滑らか境界上で$M$-関数が一般化された擬微分作用素として定義可能か？
• RQ2 境界作用素の係数がHölder連続である場合、非滑らか領域におけるKreĭnのリゾルベント公式が成立するか？
• RQ3 境界作用素$C$および関連する$L^\lambda$にどのような条件を課すことで、大きなスペクトルパラメータ$\lambda$における$M$-関数の可逆性および正則性が保証されるか？
• RQ4 非滑らか擬微分作用素境界作用素の計算が、$M$-関数理論を滑らか領域を超えて拡張する仕組みとしてどのように機能するか？
• RQ5 非滑らか設定下で、$M$-関数が$-1$階の楕円的$\psi$doと低次の余因子の和としてどの程度表現可能か？

主な発見

• 境界作用素$C$が$C^{0,1}$-正則性を有する一階微分作用素であるとき、$M_L(\lambda)$が$C^{0,1}$クラスのHölder-滑らかさを持つ記号を有する$-1$階の一般化された擬微分作用素であることが示された。
• スペクトル線$\lambda = -\mu^2 e^{i\theta}$上の大規模な$\lambda$に対して、$M_L(\lambda) = -(L^\lambda)^{-1}$は、$-1$階の楕円的$\psi$doと低次の余因子の和として表され、正則性および可逆性が保証される。
• $\widetilde{A}$の定義域は$D(\widetilde{A}) \subset H^2(\Omega)$を満たし、$C^*$が$C^{0,1}$-正則性を有するとき、$\widetilde{A}^*$も同様に定義される。
• $A$および$L$が形式的に自己共役であるとき、拡張$\widetilde{A}$は自己共役となり、$C^{1,1}$領域上での自己共役ケースにおけるKreĭnの公式の完全な実現が達成される。
• $\widehat{\Omega}$上での$\mathcal{A}(\lambda)$のパラメトリクス構成により、$O(\langle\mu\rangle^{-\theta})$の誤差推定が得られ、$L^\lambda$およびしたがって$M_L(\lambda)$の真の逆作用素の存在が保証される。
• 理論は有界領域に限らず、外部領域や摂動された半空間にも適用可能であり、Kreĭnの公式の応用範囲がより広い幾何的設定へと拡張される。