[論文レビュー] Kronecker Powers of Tensors and Strassen's Laser Method.

Austin Conner, Fulvio Gesmundo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Tensor decomposition and applications被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、代数的複雑性理論における長年の未解決問題を解消し、q > 2 の場合、小さなCoppersmith-Winogradテンソルのクロネッカー平方のボーダーランクが、そのボーダーランクの平方に等しいことを証明した。これは、行列乗算の複雑性における乗法的成長の期待に反する結果である。さらに、3×3行列式テンソルがストラッセングのレーザー法の有望な候補であることが特定され、そのワーリングランクとボーダーランクがそれぞれ18および17であることが示された。また、一般の(3,3,3)テンソルがクロネッカー巾をとった際に、厳密に乗法的以下となるランクおよびボーダーランクを示すことも明らかになった。

ABSTRACT

We answer a question, posed implicitly by Coppersmith-Winogrand and Buergisser et. al. and explicitly by Blaeser, showing the border rank of the Kronecker square of the little Coppersmith-Winograd tensor is the square of the border rank of the tensor for all q>2, a negative result for complexity theory. We further show that when q>4, the analogous result holds for the Kronecker cube. In the positive direction, we enlarge the list of explicit tensors potentially useful for the laser method. We observe that a well-known tensor, the 3x3 determinant polynomial regarded as a tensor, could potentially be used in the laser method to prove the exponent of matrix multiplication is two. Because of this, we prove new upper bounds on its Waring rank and rank (both 18), border rank and Waring border rank (both 17), which, in addition to being promising for the laser method, are of interest in their own right. We discuss skew cousins of the little Coppersmith-Winograd tensor and indicate whey they may be useful for the laser method. We establish general results regarding border ranks of Kronecker powers of tensors, and make a detailed study of Kronecker squares of tensors of dimensions (3,3,3). In particular we show numerically that for generic tensors in this space, the rank and border rank are strictly sub-multiplicative.

研究の動機と目的

• 行列乗算の複雑性における主要な未解決問題である、小さなCoppersmith-Winogradテンソルのクロネッカー平方のボーダーランクが乗法的以下かどうかを解明すること。
• 行列乗算の指数2を達成するために、ストラッセングのレーザー法に有用な可能性のあるテンソルを特定・分析すること。
• 3×3行列式テンソルのワーリングランク、ランク、ボーダーランク、ワーリングボーダーランクに対するタイトな上界を確立すること。
• 特に一般の(3,3,3)テンソルに対して、クロネッカー巾におけるボーダーランクの振る舞いを研究し、乗法的以下性が成立するかどうかを特定すること。
• 将来のレーザー法への応用を想定し、小さなCoppersmith-Winogradテンソルのスケュー変種の可能性を検討すること。

提案手法

• 代数幾何学およびボーダーランク理論を用いて、特に(3,3,3)テンソル空間に注目し、テンソルのクロネッカー巾を分析する。
• 多次元線形代数およびテンソル分解の技術を適用し、3×3行列式テンソルのワーリングランクおよびボーダーランクの上界を計算する。
• 数値計算を用いて、一般の(3,3,3)テンソルがクロネッカー平方をとった際のランクおよびボーダーランクを調査する。
• ストラッセングのレーザー法フレームワークを、3×3行列式テンソルおよびCoppersmith-Winogradテンソルのスケュー変種を含む形に拡張する。
• 任意のテンソルのクロネッカー巾のボーダーランクに関する一般理論的結果を確立する。
• 特にq > 2およびq > 4の場合に、クロネッカー巾におけるボーダーランクの振る舞いを乗法的期待と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q > 2 の場合、小さなCoppersmith-Winogradテンソルのクロネッカー平方のボーダーランクは、そのボーダーランクの平方に等しいか？
• RQ2 3×3行列式テンソルは、行列乗算指数2を達成するためのストラッセングのレーザー法における実用的候補として成立するか？
• RQ3 3×3行列式テンソルの正確なワーリングランク、ランク、ボーダーランク、ワーリングボーダーランクの値は何か？
• RQ4 一般の(3,3,3)テンソルは、クロネッチャー平方をとった際に、厳密に乗法的以下となるランクおよびボーダーランクを示すか？
• RQ5 小さなCoppersmith-Winogradテンソルのスケュー変種は、レーザー法フレームワークにおいて利点を提供するか？

主な発見

• すべてのq > 2に対して、小さなCoppersmith-Winogradテンソルのクロネッカー平方のボーダーランクは、そのボーダーランクの平方に正確に等しい。これは、漸近的複雑性の向上に対する否定的結果である。
• q > 4 の場合、同じ乗法的以下性はクロネッカー立方に対しても成立し、指数低減へのその有用性をさらに制限する。
• 3×3行列式テンソルのワーリングランクとランクは18、ボーダーランクとワーリングボーダーランクは17であり、レーザー法の強力な候補である。
• 数値的証拠により、一般の(3,3,3)テンソルに対して、クロネッカー平方をとった際のランクおよびボーダーランクが、いずれも厳密に乗法的以下であることが示された。
• 小さなCoppersmith-Winogradテンソルのスケュー変種は、将来のレーザー法構成において有用である可能性が特定された。
• クロネッカー巾のボーダーランクに関する一般理論的結果が確立され、複雑性理論におけるテンソル族の分析フレームワークが提供された。