[論文レビュー] Krylov Complexity in Open Quantum Systems

Chang Liu, Tang Haifeng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2022

Quantum many-body systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Krylov複雑度を、ハミルトニアン力学に代わる Lindbladian 動的を有するオープン量子系へ一般化する。非エルミート的で、半無限鎖上のタイトバインディング模型に写像することで実現される。非エルミート項は Krylov 基底インデックスに線形に増加し、局在化した端モードを生じさせ、Krylov複雑度の成長を抑制する。その結果、散乱に起因する崩壊により、閉じた系と比較してはるかに小さい有限値に飽和する。

ABSTRACT

Krylov complexity is a novel measure of operator complexity that exhibits universal behavior and bounds a large class of other measures. In this letter, we generalize Krylov complexity from a closed system to an open system coupled to a Markovian bath, where Lindbladian evolution replaces Hamiltonian evolution. We show that Krylov complexity in open systems can be mapped to a non-hermitian tight-binding model in a half-infinite chain. We discuss the properties of the non-hermitian terms and show that the strengths of the non-hermitian terms increase linearly with the increase of the Krylov basis index $n$. Such a non-hermitian tight-binding model can exhibit localized edge modes that determine the long-time behavior of Krylov complexity. Hence, the growth of Krylov complexity is suppressed by dissipation, and at long-time, Krylov complexity saturates at a finite value much smaller than that of a closed system with the same Hamitonian. Our conclusions are supported by numerical results on several models, such as the Sachdev-Ye-Kitaev model and the interacting fermion model. Our work provides insights for discussing complexity, chaos, and holography for open quantum systems.

研究の動機と目的

• 閉じた量子系に限定して定義された Krylov 複雑度の概念を、Lindbladian 動的を支配するオープン系へ拡張すること。
• マコビアンバスタイプの環境を介してモデル化される散乱が、Krylov 基底における演算子複雑度の成長と飽和に与える影響を理解すること。
• オープン系における Krylov 複雑度と、半無限鎖上の非エルミート的タイトバインディング模型との間の写像を確立すること。
• 非エルミート的端モードが Krylov 複雑度の長時間挙動を決定づける役割を特定すること。
• オープン量子系における複雑度、カオス、ホログラフィーを研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• Krylov 基底を用いて、演算子の Lindbladian 動的を、半無限鎖上の非エルミート的タイトバインディング模型に写像する。
• 反復的スーパーオペレーター作用に基づくグラム・シュミット直交化により、Krylov 基底を定義する。
• Lanczos の係数 bₙ と崩壊率 dₙ を用いた非エルミート的シュレーディンガー型方程式により、Krylov 振幅 φₙ(t) の時間発展をモデル化する。
• 非エルミート項 dₙ が、スケール nₛ まで線形的に増加するものと仮定する（dₙ = β_d + α_d n）、それ以上では飽和する。
• 非エルミートハミルトニアンのスペクトルを解析し、長時間ダイナミクスを支配する大きな虚部を持つ端モードを同定する。
• SYK や相互作用するフェルミオン系などのモデルに対して数値的シミュレーションを実施し、解析的写像と結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マコビアンバスタイプの環境による散乱の導入が、オープン系における Krylov 複雑度の成長にどのように影響を及けるか？
• RQ2 オープン系における Krylov 複雑度は非エルミート的タイトバインディング模型に写像可能か？ その物理的解釈は何か？
• RQ3 非エルミート的端モードは、Krylov 複雑度の長時間飽和値を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 Lindbladian 耦合の強さが、非エルミート模型におけるスペクトルギャップの出現に与える影響は何か？
• RQ5 系サイズ（nₛ で特徴づけられる）に依存して、臨界散乱強度 γ_c はどのように変化するか？

主な発見

• オープン系における Krylov 複雑度は散乱によって抑制され、閉じた系と比較してはるかに小さい有限値に飽和する。
• Krylov 複雑度の長時間挙動は、非エルミート的タイトバインディング模型における局在化した端モードに支配され、非エルミート的スキン効果に起因する。
• 有効ハミルトニアンにおける非エルミート項は Krylov 基底インデックス n に線形に増加し、高複雑度の演算子に対して増加する崩壊率をもたらす。
• 散乱強度 γ > γ_c のとき、非エルミートスペクトルにギャップが出現し、ギャップ以下のモードが長時間ダイナミクスを支配する。
• 臨界散乱強度 γ_c は γ_c ∼ 1/nₛ^0.85 に比例するため、熱力学的極限（nₛ → ∞）では γ_c → 0 となる。その結果、無限大系においても端モードが存続する。
• Sachdev-Ye-Kitaev や相互作用するフェルミオン系における数値的結果は、複雑度の成長抑制と飽和を示す解析的予測を確認している。