[論文レビュー] Krylov Complexity in Quantum Field Theory

Kiran Adhikari, Sayantan Choudhury+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2022

Quantum Mechanics and Applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子場理論（QFT）における演算子時間発展演像の複雑さを曖昧さのない測度としてKrylov複雑度を導入し、Krylov基底がFock基底と一致する場合には平均粒子数と一致することを示している—これは体積スケーリングを示している。自由スカラー場理論においては、Krylov複雑度はホログラフィックな「複雑度＝体積」予想と定性的に類似しており、QFTにおける複雑さとボリューム内重力的物理との深い関係を示唆している。

ABSTRACT

In this paper, we study the Krylov complexity in quantum field theory and make a connection with the holographic "Complexity equals Volume" conjecture. When Krylov basis matches with Fock basis, for several interesting settings, we observe that the Krylov complexity equals the average particle number showing that complexity scales with volume. Using similar formalism, we compute the Krylov complexity for free scalar field theory and find surprising similarities with holography. We also extend this framework for field theory where an inverted oscillator appears naturally and explore its chaotic behavior.

研究の動機と目的

• ニールセンの回路複雑度の曖昧さを避けるために、Krylov複雑度を量子場理論における堅牢で曖昧さのない複雑度測度として確立すること。
• QFTにおけるKrylov複雑度がホログラフィックな「複雑度＝体積」予想と整合するスケーリング行動を示すかどうかを調査すること。
• 格子上での自由スカラー場理論におけるKrylov複雑度を計算し、その振る舞いをホログラフィックな予測と比較すること。
• 逆振動子ポテンシャルを含む場理論におけるカオス的ダイナミクスを、Krylov複雑度をプローブとして用いて探求すること。

提案手法

• 時間発展演像のHeisenberg演算子をネストされた交換関係を通して生成するLiouvillianスーパーオペレーター $\mathcal{L}_H$ を用いて、Krylov複雑度を形式化すること。
• LiouvillianにLanczosアルゴリズムを適用して、演算子のヒルベルト空間の断片化された部分空間内でのユニタリ時間発展演像を可能にする正規直交Krylov基底を構築すること。
• Krylov複雑度を $K = \sum_n n |\phi_n(t)|^2$ として定義し、ここで $\phi_n(t)$ は時間発展演像された演算子のKrylov基底展開における振幅である。
• 格子上の自由スカラー場理論におけるKrylov複雑度を、結合された調和振動子に理論を離散化し、正規モード分解を用いて解くことで計算すること。
• 非エルミート的または非直交初期状態に対してもLanczos手順の整合性を保つために、演算子空間における内積をWightmanノルムで定義すること。
• Lanczos係数 $b_n$ を分析してカオス的ダイナミクスを調べ、線形増加 $b_n \leq \epsilon n + \eta$ がリャプノフ的カオスを示唆すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QFTにおけるKrylov複雑度は、「複雑度＝体積」予想が予測するように体積スケーリングするか？
• RQ2 格子上の自由スカラー場理論におけるKrylov複雑度は、ホログラフィックな複雑度予測とどのように比較されるか？
• RQ3 Krylov基底がFock基底と一致する条件は何か？ そしてこれは複雑度スケーリングに何を意味するか？
• RQ4 Krylov複雑度は、逆振動子ポテンシャルを有する場理論におけるカオス的ダイナミクスを検出できるか？
• RQ5 Krylov複雑度は、高エネルギー物理学および重力的物理において、ニールセンの回路複雑度の代替として実用的で曖昧さのないものと見なせるか？

主な発見

• Krylov基底がFock基底と一致するとき、Krylov複雑度は平均粒子数に等しくなる。これはQFTにおける体積スケーリングとの直接的な関係を示している。
• 格子上での自由スカラー場理論において、Krylov複雑度は時間発展演像のプロファイルにおいて、ホログラフィックな複雑度と定性的に一致している。
• Wightmanノルムを用いることで、非エルミート的または非直交初期状態に対しても安定した正規直交Krylov基底がLanczosアルゴリズムによって成功裏に構築され、場理論的状況下での複雑度の数値計算が可能になった。
• Lanczos係数 $b_n$ は線形増加 $b_n \leq \epsilon n + \eta$ を示し、逆振動子を有する系におけるカオス的ダイナミクスを示唆している。
• Lanczos係数から得られるリャプノフ指数 $\gamma = 2\epsilon$ が抽出され、この方法が場理論における量子カオスを探査できる能力を確認した。
• ゲート選択、参照状態、許容誤差パラメータに依存しないことから、Krylov複雑度はニールセンの回路複雑度の曖昧さを回避する。