[論文レビュー] Krylov Distribution

Mohsen Alishahiha, Mohammad Javad Vasli|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2026

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ひとこと要約

論文は、解決子で包絡された状態に基づく静的Krylov空間診断であるKrylov分布 D(xi) を導入し、Krylov空間に沿った逆エネルギー拡散を特徴づけ、それをスペクトル構造と量子幾何学に関連づける。

ABSTRACT

We introduce the Krylov distribution $\mathcal{D}(ξ)$, a static Krylov-space diagnostic that characterizes how inverse-energy response is organized in Hilbert space. The central object is the resolvent-dressed state $(H-ξ)^{-1}|ψ_0 angle$, whose decomposition in the Krylov basis generated from a reference state defines a normalized distribution over Krylov levels. Unlike conventional spectral functions, which resolve response solely along the energy axis, the Krylov distribution captures how the resolvent explores the dynamically accessible subspace as the spectral parameter $ξ$ is varied. Using asymptotic analysis, exact results in solvable models, and numerical studies of an interacting spin chain, we identify three universal regimes: saturation outside the spectral support, extensive growth within continuous spectra, and sublinear or logarithmic scaling near spectral edges and quantum critical points. We further show that fidelity susceptibility and the quantum geometric tensor admit natural decompositions in terms of Krylov-resolved resolvent amplitudes.

研究の動機と目的

• レスオブレント物理のための静的Krylov空間フレームワークを動機づけ、逆エネルギー応答を探る。
• Krylov空間における空間診断としてKrylov分布 D(xi) を定義・解析する。
• スペクトルの位置（外部・内部・エッジ/臨界点）ごとにD(xi) の普遍的な領域を確立する。
• Krylov分解解像されたレスオブレント振幅を忠実度感受性と量子幾何テンソルに結びつける。
• この枠組みをモデル間の正確解と数値研究を通じて具体化する。

提案手法

• Lanczos再帰によりKrylov基底を構成し、Hを三項対角Jacobi演算子として表現する。
• レスオブレント被覆状態 |ψ(xi)⟩=(H−ξ)−1|ψ0⟩ とそのKrylov振幅 ψn(ξ) を定義する。
• (H−ξ)|ψ(ξ)⟩=|ψ0⟩ からの再帰でKrylovレスオブレント振幅を導入する。
• Krylov分布 D(ξ)=∑n n Pn(ξ) を定義し、Pn(ξ)=|ψn(ξ)|2/∑m|ψm(ξ)|2 とする。
• ψn(ξ) を関連Jacobi演算子の正交多項式 Qn および Pn、スペクトル測度を用いて表す。
• 熱力学極限における漸近解析を提示し、three universal regimes を同定する：スペクトル外、スペクトル内、エッジ/臨界点。
• 3つの正確解可能モデルを用いて枠組みを具体化し、忠実度感受性および量子幾何学との関係を議論する。

Figure 1: Krylov distribution $\mathcal{D}(\ell)$ for the quadratic Hamiltonian, computed numerically from the exact resolvent amplitudes Eq. ( 74 ) with a Krylov cutoff $N=25$ . Sharp peaks appear at the discrete eigenvalues $E_{m}$ , reflecting the pole structure of the resolvent. At resonance, th

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ξ を変化させたとき、逆エネルギー応答はKrylov空間をどのように探索するのか。
• RQ2 異なるスペクトル領域でKrylov分布 D(ξ) を支配する普遍的スケーリング則は何か。
• RQ3 忠実度感受性と量子幾何テンソルは、Krylov解像レスオブレント振幅の観点でどう分解できるのか。
• RQ4 Lanczos係数の成長、スペクトル構造、Krylov空間の伝播の関係を示す正確解可能モデルとは何か。
• RQ5 相互作用多体系の数値研究にKrylovフレームワークはどのように適用されるのか。

主な発見

• スペクトル包絡の外では、Krylov振幅は指数的に局在し、D(ξ) は熱力学極限で飽和する。
• 連続スペクトル内では、Krylov振幅は平均的に拡張され、D(ξ) はカットオフNに対して広く成長する（D(ξ) ~ N/2）。
• スペクトル端部および量子臨界点付近では、端の普遍性クラスに応じてD(ξ) が準線形以下または対数スケーリングを示す（例：Airy 型端部挙動で D(ξ) ~ N^(2/3)）。
• 3つの正確解モデルは、定数Lanczos係数（エッジ・内部・外部レジーム）、変位振動子（離散スペクトルと共鳴）、SU(1,1)鎖（係数が線形に成長）としてψn(ξ) の閉形式解を与える。
• 忠実度感受性と量子幾何テンソルはKrylov解像分解を許し、静的スペクトル診断を幾何学的応答に結びつける。

Figure 2: Krylov distribution $\mathcal{D}(\ell)$ as a function of the Krylov cutoff $N$ for the quadratic Hamiltonian, computed numerically from Eq. ( 74 ) for several fixed values of $\ell$ . The distribution grows approximately linearly at small $N$ and saturates at larger $N$ , reflecting the fi