[論文レビュー] Kuranishi bordism and Kuranishi homology

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2007

Geometric and Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ゲージ固定データを備えたカウリシ空間を用いて、オルビフォールドのカウリシホモロジーおよびコホモロジー理論を導入し、それぞれが特異ホモロジーおよびcompactly-supportedコホモロジーと同型であることを証明する。また、シンプレクティック幾何における仮想サイクルの構成を簡略化するための5つの新しいボルディズム理論を定義し、摂動や横断性の問題を回避して、Gopakumar-Vafa不変量の整数性を示すことを可能にする。

ABSTRACT

A Kuranishi space is a topological space with a Kuranishi structure, defined by Fukaya and Ono. Kuranishi structures occur naturally on moduli spaces of J-holomorphic curves in symplectic geometry. Let Y be an orbifold and R a commutative ring or Q-algebra. We define two kinds of Kuranishi homology KH_*(Y;R). The chain complex KC_*(Y;R) defining KH_*(Y;R) is spanned over R by [X,f,G], for X a compact oriented Kuranishi space with corners, f : X --> Y smooth, and G gauge-fixing data which makes Aut(X,f,G) finite. Our main result is that these are isomorphic to singular homology. We define Poincare dual Kuranishi cohomology, isomorphic to compactly-supported cohomology. We define five kinds of Kuranishi (co)bordism spanned by isomorphism classes[X,f] for X a compact oriented Kuranishi space without boundary and f : X --> Y smooth. They are new topological invariants, and we show they are very large. These theories are powerful new tools in symplectic geometry. Defining virtual cycles and chains for moduli spaces of J-holomorphic curves is trivial in Kuranishi (co)homology. There is no need to perturb moduli spaces, and no problems with transversality. This gives major simplifications in Lagrangian Floer cohomology. We define new Gromov-Witten type invariants in Kuranishi bordism, over Z not Q. We sketch how these may be used to prove the integrality conjecture for Gopakumar-Vafa invariants. This paper is surveyed in arXiv:0710.5634.

研究の動機と目的

• カウリシ構造を用いて、オルビフォールドの新しいホモロジーおよびコホモロジー理論を定義すること。
• シンプレクティックモジュライ空間の不変量として、カウリシボルディズム理論を構築すること。
• J-正則曲線の仮想サイクルを定義する際の摂動および横断性の必要性を排除すること。
• 整数環上でのカウリシボルディズムを用いて、Gopakumar-Vafa不変量の整数性を確立すること。
• 横断性の障害が生じない枠組みを提供し、ラグランジュアン・フローエコホモロジーにおける不変量の計算を可能にすること。

提案手法

• X が角を持つコンパクトで向き付け可能なカウリシ空間、f:X→Y が滑らか、G が有限自己同型群を提供するような同値類 [X,f,G] で張られるチェイン複体 KC_*(Y;R) を定義する。
• ゲージ固定データ G を用いて自己同型群の有限性を保証し、代数的構造が適切に定義されることを確保する。
• このチェイン複体のホモロジーを R 上でとったものが、カウリシホモロジー KH_*(Y;R) である。
• Poincaré双対のカウリシコホモロジーを定義し、compactly-supportedコホモロジーと同型であることを示す。
• 境界のないカウリシ空間の同型類 [X,f] を用いて、5つの異なるカウリシボルディズム理論を定義する。
• この枠組みを用いて、標準的な摂動技術を回避する Z 上でのGromov-Witten型不変量を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カウリシ構造を用いて、古典的な特異ホモロジーおよびcompactly-supportedホモロジーと同型なホモロジーおよびコホモロジー理論を定義できるか？
• RQ2 カウリシボルディズム理論は、シンプレクティックトポロジーにおける既存のボルディズム不変量とどのように比較できるか？
• RQ3 J-正則曲線のモジュライ空間における仮想サイクルは、摂動や横断性の条件なしに定義可能か？
• RQ4 整数環上でのカウリシボルディズムを用いて、Gopakumar-Vafa不変量の整数性を確立できるか？
• RQ5 ゲージ固定データは、カウリシ空間不変量の自己同型群の安定化にどのように寄与するか？

主な発見

• カウリシホモロジー KH_*(Y;R) は、オルビフォールド Y の特異ホモロジーと同型である。
• Poincaré双対のカウリシコホモロジーは、Y のcompactly-supportedコホモロジーと同型である。
• 5つの異なるカウリシボルディズム理論が定義され、それぞれがカウリシ空間構造の異なる側面を捉えている。
• この理論により、摂動を回避して仮想サイクルを直接定義でき、シンプレクティックトポロジーにおける構成を簡略化する。
• Z 上で定義された新しいGromov-Witten型不変量が得られ、Gopakumar-Vafa不変量の整数性予想の証明への道筋を提供する。
• 横断性の問題が排除されるため、ラグランジュアン・フローエコホモロジーにおける計算が著しく簡素化される。