[論文レビュー] Kuratowski's Theorem for Two Closure Operators

Jeffrey Shallit, Ross Willard|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2つの可換な閉包作用素と補集合作用素の組み合わせにおけるカラトフスキーの古典的14集合定理を拡張する。単一の閉包作用素では、繰り返し補集合と閉包を適用しても最大で14個の異なる集合が得られるが、著者らは2つの可換な閉包作用素を用いる場合、無限個の異なる集合が生成可能であることを証明している。これは、無限個の恒等式が作用素間に存在するにもかかわらず成り立つ。主な貢献は、2つの可換な閉包作用素と補集合作用素によって生成されるモノイドが無限大になり得ることを示したことである。これは、単一の閉包作用素の場合とは対照的である。

ABSTRACT

A celebrated 1922 theorem of Kuratowski states that there are at most 14 distinct sets arising from applying the operations of complementation and closure, any number of times, in any order, to a subset of a topological space. In this paper we consider the case of complementation and two abstract closure operators. In contrast to the case of a single closure operation, we show that infinitely many distinct sets can be generated, even when the closure operators commute.

研究の動機と目的

• 補集合作用素と2つの閉包作用素によって生成されるモノイドの構造を、抽象的な設定で調査すること。
• 2つの閉包作用素が可換である場合、単一作用素の場合と同様にモノイドが有限のまま保たれるかを特定すること。
• 閉包作用素が可換である場合に生じる新たな作用素間の恒等式を同定すること。
• 可換性の下でもモノイドが無限大である具体例を構成すること。
• 可換な閉包作用素と補集合作用素の代数的理論の決定可能性および有限提示可能性を調査すること。

提案手法

• 著者らは、標準的な公理（拡大性、単調性、冪等性）を満たす閉包作用素を定義する。
• 2つの可換な閉包作用素と補集合作用素を扱う形式的等式理論 T_2com を導入する。
• 任意の {p, q, pq} からの作用素列に対して、語 pqca₁ca₂⋯ca₂ₙcpq が pqcpq に同値であることを証明し、無限個の恒等式の族を確立する。
• 整数集合 ℤ ∪ {⊤, ⊥} 上に、4組の可換な閉包作用素 pᵢⱼ, qᵢⱼ を用いて、グローバルな閉包作用素 p と q を定義するモデルを構成する。
• 初期集合 A = {0, ⊤} を特定し、wₙ = (cpcpcqcq)ⁿ の繰り返し適用によって {2n, ⊤} が異なる集合を生成することを示し、無限性を証明する。
• c-バランスの取れた語の構造を分析し、等式理論 T_2com における項と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの可換な閉包作用素と補集合作用素によって生成されるモノイドは、単一作用素の場合と同様に有限のまま保たれるか？
• RQ2 2つの可換な閉包作用素に対して、無限個の恒等式を導出可能か？ もしそうなら、それらの構造はどのようなものか？
• RQ3 可換な閉包作用素の等式理論において、すべての恒等式が有限個の恒等式から導出可能か？
• RQ4 2つの可換な閉包作用素と補集合作用素の等式理論は決定可能か？
• RQ5 生成元 c, p, q と等式理論からの関係からなるモノイドは、有限提示可能か？

主な発見

• 2つの可換な閉包作用素と補集合作用素によって生成されるモノイドは、作用素が可換であっても無限大になり得る。
• 任意の n ≥ 1 および a₁,…,a₂ₙ ∈ {p, q, pq} に対して、恒等式 pqca₁ca₂⋯ca₂ₙcpq ≡ pqcpq が成り立つ。これは無限個の恒等式の族を形成する。
• 整数集合 ℤ ∪ {⊤, ⊥} 上に、可換な閉包作用素 p と q を用いた明示的構成により、wₙ = (cpcpcqcq)ⁿ の繰り返し適用で無限個の異なる集合が得られる。
• A = {0, ⊤} のとき、{wₙ(A) | n ≥ 1} が無限集合であることを示し、モノイドが有限でないことを証明する。
• 等式理論 T_2com は、可換な閉包作用素に対して有効なすべての恒等式を捉え、本稿ではそれらの恒等式がこの理論から導出可能であることを示している。
• 本稿では、等式理論が決定可能または有限提示可能かどうかは未解決のまま残されているが、無限個の恒等式と無限大のモノイドの存在は証明されている。