[論文レビュー] L_1 embeddings of the Heisenberg group and fast estimation of graph isoperimetry

Assaf Naor|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2010

Point processes and geometric inequalities参考文献 38被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト群の離散的Heisenberg群の$L_1$空間への埋め込みの歪みに関する鋭い定量的下界を、ヒルベルト群における幾何学的・解析的技法を用いて確立する。$n \times n \times n$グリッドにおける単語距離は、$L_1$において少なくとも$\gtrsim (\log n)^c$の歪みを要する。また、任意の1リプシッツ写像は、$\omega_f(t) \lesssim t / (\log t)^c$の圧縮率を示し、スパーステストカット問題と双リプシッツ埋め込み理論における主要な問題を解決する。

ABSTRACT

We survey connections between the theory of bi-Lipschitz embeddings and the Sparsest Cut Problem in combinatorial optimization. The story of the Sparsest Cut Problem is a striking example of the deep interplay between analysis, geometry, and probability on the one hand, and computational issues in discrete mathematics on the other. We explain how the key ideas evolved over the past 20 years, emphasizing the interactions with Banach space theory, geometric measure theory, and geometric group theory. As an important illustrative example, we shall examine recently established connections to the the structure of the Heisenberg group, and the incompatibility of its Carnot-Carathéodory geometry with the geometry of the Lebesgue space $L_1$.

研究の動機と目的

• 非原子的測度を伴う$L_1(\mu)$空間への離散的Heisenberg群$\mathbb{H}(\mathbb{Z})$の定量的非埋め込み結果を確立すること。
• $L_1$非埋め込みと組合せ最適化におけるスパーステストカット問題との関係を解明すること。
• ヒルベルト群における測度的微分とカット測度の定量的理論を構築し、無限設定に存在しない有限的問題を克服すること。
• ヒルベルト群のカルノー＝カラテオドリ距離の幾何学的性質が、$L_1$幾何学と根本的になじまないことを証明すること、すなわち非原子的$\mu$を伴う$L_1(\mu)$設定においても同様である。

提案手法

• チーラーとクライナーが開発した、ヒルベルト群から$L_1(\mu)$へのリプシッツ写像のための新しい微分可能性の概念を用いて、非埋め込み性を証明すること。
• ヒルベルト群における周囲境界と等周不等式を応用し、$L_1$値写像のレベル集合の測度論的構造を制御すること。
• 球内での集合$E$が半空間からどれほど離れているかを測る、定量的非単調性関数$\mathrm{NM}_{B(x,r)}(E)$の導入。
• 定理5.3としての安定性結果の証明：非単調性が小さい集合は、制御された誤差の範囲内で、半径$\varepsilon r$のより小さな球上で半空間に$\varepsilon^{1/3}$-近い測度を持つ。
• ほとんど単調な集合の分類を用いて、問題をほとんど半空間に支持されるカット測度に還元すること。
• 垂直線距離の幾何的議論により、ヒルベルト群における垂直線距離が、$\|f(x_1)-f(x_3)\|_1 = \|f(x_1)-f(x_2)\|_1 + \|f(x_2)-f(x_3)\|_1$を満たすような距離と双リプシッツ同値でないことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト群における$n \times n \times n$グリッドの$L_1$埋め込みにおける最適歪みは何か？ そして$n$に従ってどのようにスケーリングされるか？
• RQ2 任意の1リプシッツ写像$f: \mathbb{H}(\mathbb{Z}) \to L_1(\mu)$の圧縮率$\omega_f(t)$は定量的に抑えられるか？
• RQ3 ヒルベルト群内の集合は、測度的および非単調性の観点から、半空間にどの程度近づけるか？
• RQ4 カルノー＝カラテオドリ幾何学が、微分可能性定理が失敗する場合でさえ、$L_1$埋め込みを妨げる役割を果たすか？
• RQ5 周囲境界と測度的微分は、どのように組み合わせて有限的非埋め込み結果を導くか？

主な発見

• 任意の$L_1(\mu)$埋め込みにおいて、ヒルベルト群の$n \times n \times n$グリッドの歪みは、ある普遍的定数$c > 0$に対して少なくとも$\gtrsim (\log n)^c$である。これは強い定量的下界を確立する。
• 任意の1リプシッツ写像$f: \mathbb{H}(\mathbb{Z}) \to L_1(\mu)$について、すべての$t \geq 2$で圧縮率が$\omega_f(t) \lesssim t / (\log t)^c$を満たす。ここで$c > 0$は普遍的定数である。
• 非単調性$\mathrm{NM}_{B(x,r)}(E) \leq \varepsilon^a$である集合は、半径$\varepsilon r$のより小さな球上で、半空間から$\varepsilon^{1/3}$-近い測度を持つ。これは、ほとんど単調な集合の安定性を示す結果である。
• 最終段階で周囲境界に依存しないようにするために、ほとんど単調な集合が半空間に近いと分類し、垂直線の内在的幾何学と矛盾することを示した。
• ヒルベルト群における垂直線の内在的距離は、$L_1$値写像にカット測度が半空間に支持される場合に必要な加法性条件$\|f(x_1)-f(x_3)\|_1 = \|f(x_1)-f(x_2)\|_1 + \|f(x_2)-f(x_3)\|_1$を満たすいかなる距離とも双リプシッツ同値でない。
• これらの結果により、ヒルベルト群の幾何学的性質が、非原子的$L_1(\mu)$設定でさえも、$L_1$幾何学と根本的になじまないことが示され、長年の未解決問題であるメトリック埋め込みと最適化分野における根本的問題が解決された。