[論文レビュー] $L^1$-Stability of Vortex Sheets and Entropy Waves in Steady Compressible Supersonic Euler Flows over Lipschitz Walls

Gui‐Qiang Chen, Vaibhav Kukreja|arXiv (Cornell University)|May 20, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$BV$-正則な流入流を有するリプシッツ壁上における2次元定常超音速Euler流れにおける圧縮性バーテックスシートおよびエントロピー波の$L^1$-安定性を確立する。波面追跡法と特許化されたリャプノフ汎関数を用いて、流入摂動の全 Variation が十分に小さいとき、解の全域的存在、一意性、および$L^1$-安定性を証明する。

ABSTRACT

We study the well-posedness of compressible vortex sheets and entropy waves in two-dimensional steady supersonic Euler flows over Lipschitz walls with $BV$ incoming flows. Both the Lipschitz wall of $BV$ tangential angle function and the $BV$ incoming flow perturb a background strong vortex sheet/entropy wave. In particular, when the total variation of the incoming flow perturbation around the background strong vortex sheet/entropy wave is small, we prove that the two-dimensional steady supersonic Euler flows containing a strong vortex sheet/entropy wave past the Lipschitz wall are $L^{1}$--stable. The weak waves are reflected after the nonlinear waves interact with the strong vortex sheet/entropy wave and the wall boundary. Using the wave-front tracking method, the existence of solutions in $BV$ over the Lipschitz walls is first shown, when the total variation of the incoming flow perturbation around the background strong vortex sheet/entropy wave is suitably small. Then we establish the $L^{1}$--stability of the solutions with respect to the incoming flows. To achieve this, a Lyapunov functional, equivalent to the $L^{1}$--distance between two solutions containing the strong vortex sheets/entropy waves, is carefully constructed to include the nonlinear waves generated by both the wall boundary and the incoming flow. This Lyapunov functional is then proved to decrease in the flow direction, leading to the $L^{1}$--stability of the solutions. Furthermore, the uniqueness of these solutions extends to a larger class of viscosity solutions.

研究の動機と目的

• 圧縮性バーテックスシートおよびエントロピー波の、$BV$-流入流を有するリプシッツ壁上における定常超音速Euler流れにおける適切な定式化を確立すること。
• 流入流の小さな$BV$摂動下で、強いバーテックスシートまたはエントロピー波を含む解の$L^1$-安定性を証明すること。
• 波面追跡半群を用いて、粘性解のクラスにおけるエントロピー解の一意性をより広いクラスに拡張すること。
• 流れ方向に減少する、$L^1$-距離に相当するリャプノフ汎関数を構築し、安定性を保証すること。
• 波面追跡半群が標準的Riemann半群と一致することを示し、粘性解クラスにおける一意性を保証すること。

提案手法

• 2次元定常Euler系を、完全な熱力学的関係を有する双曲型保存則系として定式化する。
• 波面追跡法を用いて$BV$空間における近似解を構成し、流入摂動の全 Variation が小さいときの収束を保証する。
• 解間の$L^1$-距離と、壁反射および流入摂動によって生成される非線形波を捉えるリャプノフ汎関数を構築する。
• リャプノフ汎関数が流れ方向に単調に減少することを証明し、解半群の$L^1$-安定性を示す。
• 波面追跡スキームの収束を用いて、$L^1$における一様リプシッツ半群$\mathscr{S}$を定義する。
• 波面追跡半群と標準的Riemann半群の等価性を確立し、粘性解クラスにおける一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $BV$-正則な接線角を有するリプシッツ壁上における、強いバーテックスシートまたはエントロピー波を有する定常超音速Euler流れが、どのような条件下で$L^1$-安定性を保つのか。
• RQ2 波面追跡法は、強いバーテックスシート／エントロピー波とリプシッツ壁境界との間の非線形波干渉を扱うために適応可能か。
• RQ3 $L^1$-安定性の文脈において、波面追跡半群が標準的Riemann半群と等価であるか。
• RQ4 流入流摂動と壁に起因する非線形波の両方を考慮するリャプノフ汎関数はどのように構築可能か。
• RQ5 与えられた条件下で、エントロピー解の一意性は、Bressanが定義する粘性解クラスへと拡張可能か。

主な発見

• 流入$BV$摂動の全 Variation が十分に小さいとき、強いバーテックスシートまたはエントロピー波を有する2次元定常超音速Euler流れの初期境界値問題の解は$L^1$-安定性を有する。
• 波面追跡アルゴリズムは$L^1$内にコーシー列を生成し、一意な極限解に収束する。この解は、$L^1$における一様リプシッツ半群$\mathscr{S}$を定義する。
• 解間の$L^1$-距離に相当するリャプノフ汎関数が構築され、流れ方向に単調に減少することが示され、$L^1$-安定性が証明される。
• 波面追跡によって生成される半群$\mathscr{S}$は、標準的Riemann半群と一致し、粘性解クラスにおけるエントロピー解の一意性が保証される。
• 解はエントロピー解に限らず、Bressanが定義する粘性解クラスの広い範囲においても一意である。
• 結果は等エントロピー的および等温流にも拡張可能であり、自由境界を有する双曲型系における$L^1$-安定性フレームワークの堅牢性を示している。