[論文レビュー] L^2-Betti Numbers of Locally Compact Groups

Henrik Densing Petersen|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2011

Advanced Algebra and Geometry被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、局所コンpakto、第二可算、非可縮な群に対してL²ベッチ数を導入し、離散群における古典的理論を拡張する。すべてのアーベル的で、第二可算かつ非可縮な局所コンパクト群に対して、縮小L²コホモロジーが消えることを証明し、チーバーとグロモフの結果を一般化するとともに、局所体上の代数群の格子およびカック＝ムーディ格子について新たな計算を提供する。

ABSTRACT

We introduce a notion of $L^2$-Betti numbers for locally compact, second countable, unimodular groups. We study the relation to the standard notion of $L^2$-Betti numbers of countable discrete groups for lattices. In this way, several new computations are obtained for countable groups, including lattices in algebraic groups over local fields, and Kac-Moody lattices. We also extend the vanishing of reduced $L^2$-cohomology for countable amenable groups, a well known theorem due to Cheeger and Gromov, to cover all amenable, second countable, unimodular locally compact groups.

研究の動機と目的

• 離散群の場合を一般化して、局所コンパクトで第二可算かつ非可縮な群に対するL²ベッチ数を定義すること。
• このような局所コンパクト群のL²ベッチ数とその格子のL²ベッチ数との間の関係を確立すること。
• 離散アーベル的群に対して成り立つ縮小L²コホモロジーの消滅に関するチーバー＝グロモフの定理を、より広いクラスのアーベル的で第二可算かつ非可縮な局所コンパクト群に拡張すること。
• 局所体上の代数群の格子およびカック＝ムーディ格子に対して、L²ベッチ数の新たな計算を実行すること。
• 局所コンパクト群の文脈におけるL²不変量を統一的に扱う枠組みを提供すること。

提案手法

• ヒルベルト空間コホモロジーを用いたL²ベッチ数の標準的定義を、フォン・ノイマン代数とトレース理論を用いて、局所コンパクトで非可縮な群の設定に適応する。
• 局所コンパクト群における格子の理論を応用し、群のL²ベッチ数とその離散部分群のL²ベッチ数との関係を導く。
• L²設定におけるコホモロジーとホモロジーの双対性を活用し、トレースの整合性を保証する非可縮性条件を用いる。
• 群のフォン・ノイマン代数と標準トレースの使用を含む、作用素代数の技術を用いる。
• 縮小コホモロジーとその消滅基準（特定の性質を満たすディリクレ型の存在）を用いる。
• アーベル的群の構造を用いてラプラシアンの基本解を構成し、これにより縮小L²コホモロジーの消滅を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L²ベッチ数は、離散的可算群から、局所コンパクトで第二可算かつ非可縮な群の設定にどのように一般化できるか？
• RQ2 局所コンパクト非可縮群のL²ベッチ数とその格子のL²ベッチ数との関係は何か？
• RQ3 離散アーベル的群に対して成り立つ縮小L²コホモロジーの消滅は、より広いクラスのアーベル的で第二可算かつ非可縮な局所コンパクト群にも拡張可能か？
• RQ4 この枠組みを用いて、局所体上の代数群の格子のL²ベッチ数を新たな計算で得られるか？
• RQ5 カック＝ムーディ格子のL²ベッチ数は何か？また、群の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、群のフォン・ノイマン代数上のトレースを用いて、局所コンパクトで第二可算かつ非可縮な群に対するL²ベッチ数を成功裏に定義した。
• 適切な条件下で、局所コンパクト非可縮群内の格子のL²ベッチ数は、その周囲となる群のL²ベッチ数と一致することが確立された。
• すべてのアーベル的で第二可算かつ非可縮な局所コンパクト群に対して、縮小L²コホモロジーが消えることが証明され、チーバー＝グロモフの定理が一般化された。
• 局所体（非アーベル的局所体を含む）上の代数群の格子に対して、L²ベッチ数の新たな計算が得られた。
• 本フレームワークにより、従来の古典的手法では到達できなかったカック＝ムーディ格子のL²ベッチ数の計算が可能になった。
• アーベル性とトレース性質を用いたラプラシアンの基本解の構成により、縮小コホモロジーの消滅結果が証明された。