[論文レビュー] L^2-Betti numbers of locally compact groups and their cross section equivalence relations

David Kyed, Henrik Densing Petersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、unimodular な局所コンpakto な第二可算（lcsc）群 $G$ の $L^2$-ベッチ数が、$G$ の本質的に自由でエルゴディックな確率測度保存作用のクロスセクション上に誘導される可算同値関係の $L^2$-ベッチ数に比例することを確立する。割合定数はクロスセクションの共体積に等しい。主な結果は、$G$ の削減および非削減 $L^2$-ベッチ数が一致することであり、$G$ に含まれる格子 $Γ$ の $L^2$-ベッチ数は、$G$ のそれらと、$Γ$ の $G$ における共体積によるスケーリングで一致することである。これは離散群に対する既知の結果を拡張し、可換な群に対する新しい消滅定理を提供する。

ABSTRACT

We prove that the L^2-Betti numbers of a unimodular locally compact group G coincide, up to a natural scaling constant, with the L^2-Betti numbers of the countable equivalence relation induced on a cross section of any essentially free ergodic probability measure preserving action of G. As a consequence, we obtain that the reduced and un-reduced L^2-Betti numbers of G agree and that the L^2-Betti numbers of a lattice Gamma in G equal those of G up to scaling by the covolume of Gamma in G. We also deduce several vanishing results, including the vanishing of the reduced L^2-cohomology for amenable locally compact groups.

研究の動機と目的

• unimodular 局所コンパクト群 $G$ の $L^2$-ベッチ数と、$G$ の本質的に自由でエルゴディックな pmp 作用のクロスセクション上に誘導される可算同値関係の $L^2$-ベッチ数との間の明確な関係を確立すること。
• 削減および非削減 $L^2$-ベッチ数が等しいことを証明し、局所コンパクト群の $L^2$-不変量理論における重要な問題を解決すること。
• $G$ に含まれる格子 $Γ$ の $L^2$-ベッチ数が、$G$ のそれらと比例することを示し、比例定数を $Γ$ の $G$ における共体積に等しくすること。
• 特に可換な局所コンパクト群に対して、$L^2$-ベッチ数および削減コホモロジーの新しい消滅結果を導出すること。
• クロスセクション技術と von Neumann 代数上の次元論を用いて、既知の離散群の結果を unimodular lcsc 群の設定に一般化すること。

提案手法

• Folner の基礎的研究に続くものとして、unimodular lcsc 群が確率測度空間上で自由かつエルゴディックに作用する場合に、共体積をもつクロスセクションが存在することを用いる。
• Lück の、トレース付き von Neumann 代数上のモジュールの次元論を用い、$G$ の $L^2$-ベッチ数を、群 von Neumann 代数 $LG$ を係数とする $H^n(G, L^2(G))$ の Murray-von Neumann 次元として定義する。
• Gaboriau の可算確率測度保存同値関係の $L^2$-ベッチ数理論を用い、クロスセクション上に誘導される同値関係 $Ω$ に対して $\beta^{n}_{(2)}(Ω)$ を定義する。
• 作用 $G \times Y \to X$ が可算対一かつ全射であることを利用し、クロスセクションの共体積を介して $\beta^{n}_{(2)}(G)$ と $\beta^{n}_{(2)}(Ω)$ の比例関係を確立する。
• Borel 右逆写像 $x \to (φ(x), π(x))$ を用い、$X$ 上の $G$-不変関数と $Y$ 上の $Ω$-不変関数との関係を確立し、不変量の移行を可能にする。
• 群 $G$ が可換であることと、関連する同値関係 $Ω$ が可換であることの同値性を、$L^∞$-代数上の条件付き期待値を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 unimodular lcsc 群 $G$ の $L^2$-ベッチ数は、$G$ の本質的に自由でエルゴディックな pmp 作用のクロスセクション上に誘導される可算同値関係のそれらと一致するか？
• RQ2 $G$ の削減 $L^2$-ベッチ数は非削減のそれと等しいか？この性質は局所コンパクト設定でも成り立つか？
• RQ3 $G$ に含まれる格子 $Γ$ の $L^2$-ベッチ数は、$G$ 自身のそれらとどのように関係するか？また、$Γ$ の $G$ における共体積によるスケーリングは成立するか？
• RQ4 $G$ が可換または非コンパクトな可換正規部分群を含む場合を除き、$L^2$-ベッチ数が消える条件は何か？
• RQ5 $G$ の可換性は、関連するクロスセクション同値関係 $Ω$ の可換性によって特徴付けられるか？

主な発見

• unimodular lcsc 群 $G$ の $L^2$-ベッチ数は、クロスセクション上に誘導される可算 pmp 同値関係 $Ω$ のそれらに比例し、比例定数はクロスセクションの共体積に等しい。
• $G$ の削減および非削減 $L^2$-ベッチ数は一致する。これは、局所コンパクト群の $L^2$-不変量理論における中心的問題を解決する。
• $G$ に含まれる格子 $Γ$ の $L^2$-ベッチ数は、$G$ に含まれる任意の二つの格子 $Γ, Γ'$ に対して $β^{n}_{(2)}(Γ) = \frac{\text{covol}(Γ)}{\text{covol}(Γ')} β^{n}_{(2)}(Γ')$ を満たし、離散の場合を一般化する。
• 非コンパクトな可換な閉正規部分群を $G$ が持つならば、削減 $L^2$-コホモロジー $υυ^{n}(G, L^2(G))$ はすべての $n \neq 0$ に対して消える。これは Cheeger-Gromov の結果を局所コンパクト設定に拡張する。
• 連結な可換群に対しては、次数 1 の削減 $L^2$-コホモロジーが消えることが確認され、クロスセクション同値関係に基づく新しい直接的証明により、既知の結果が再確認される。
• $G$ の可換性は、関連するクロスセクション同値関係 $Ω$ の可換性と同値である。これは、$L^∞$-代数上の $G$-不変平均および条件付き期待値の存在を用いて確立される。