[論文レビュー] L^2-cohomology of locally symmetric spaces, I

Leslie Saper|ArXiv.org|Dec 20, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、局所的に対称空間の L²-コホモロジーを実現する L²-コホモロジー L-モジュール Ω_(2)(E) を構成し、そのミクロサポートを計算する。主な貢献は、ヒルベルト空間的または等ランクの仮定を必要とせず、Borel-Zucker予想（L²-コホモロジーは中間 perverse な交差コホモロジーと同型である）を、L-モジュールを用いた新しい組合せ的枠組みによって証明することにある。

ABSTRACT

Let X be a locally symmetric space associated to a reductive algebraic group G defined over Q. L-modules are a combinatorial analogue of constructible sheaves on the reductive Borel-Serre compactification of X; they were introduced in [math.RT/0112251]. That paper also introduced the micro-support of an L-module, a combinatorial invariant that to a great extent characterizes the cohomology of the associated sheaf. The theory has been successfully applied to solve a number of problems concerning the intersection cohomology and weighted cohomology of the reductive Borel-Serre compactification [math.RT/0112251], as well as the ordinary cohomology of X [math.RT/0112250]. In this paper we extend the theory so that it covers L^2-cohomology. In particular we construct an L-module whose cohomology is the L^2-cohomology of X and we calculate its micro-support. As an application we obtain a new proof of the conjectures of Borel and Zucker.

研究の動機と目的

• L²-コホモロジーを含む L-モジュール理論を体系的に拡張すること。
• L²-理論における無限次元的局所コホモロジーに起因する解析的および代数的課題を克服すること。
• L²-コホモロジー、交差コホモロジー、重み付きコホモロジーを統一的に扱う、L-モジュールを用いた組合せ的枠組みを提供すること。
• ヒルベルト空間的または等ランクの仮定を一切要しない一般の状況において、Borel-Zucker 予想（L²-コホモロジーは中間 perverse な交差コホモロジーと同型）を証明すること。
• L²-コホモロジー L-モジュールのミクロサポートを計算し、コホモロジー不変量の構造的解析を深めること。

提案手法

• 局所的に対称空間 X 上の L²-微分形式の複体をモデル化する一般化された L-モジュール Ω_(2)(E) を導入する。
• 幾何的モデルとして再帰的 Borel-Serre のコンパクト化 X̂ を用い、商写像 π: X̂ → X* を介して L²-コホモロジーと層コホモロジーを関連付ける。
• L-モジュールおよびそれらの関連型の理論を用いて、Ω_(2)(E) のミクロサポートを定義し、構造的層の理論における先行研究を拡張する。
• 押し出し Rπ_*Ω_(2)(E) の i* および i! における消滅条件を用いた交差コホモロジーの局所的特徴付けを適用する。
• ミクロサポートの推定式 d(k*Ω_(2)(E)) < (1/2)codim F を用いて、準同型写像のための必要十分条件である消滅定理を証明する。
• SS(Ω_(2)(E)) = {E} であることと、[33, Corollary 26.2] を適用することで、ファイバー制限のコホモロジー次元を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元的局所コホモロジーを伴うにもかかわらず、L²-コホモロジーが L-モジュールを用いた組合せ的モデルとして構成可能か？
• RQ2 L²-コホモロジー L-モジュール Ω_(2)(E) のミクロサポートは何か？ そして境界の幾何とどのように関係するか？
• RQ3 Borel-Zucker 予想（L²-コホモロジーは中間 perverse な交差コホモロジーと同型）は、ヒルベルト空間的または等ランクの仮定なしに成立するか？
• RQ4 Rapoport 予想（I_pH(X*) ≅ I_pH(X̂)）は、L-モジュール枠組みを用いて L²-コホモロジーに拡張可能か？
• RQ5 Ω_(2)(E) のミクロサポートは、境界ストラトに近い L²-形式のコホモロジー的挙動をどのように符号化するか？

主な発見

• 本稿は、局所的に対称空間 X の L²-コホモロジー H_(2)(X;E) と同型なコホモロジーを持つ L-モジュール Ω_(2)(E) を構成した。
• Ω_(2)(E) のミクロサポートは SS(Ω_(2)(E)) = {E} として計算され、これはそのコホモロジー的挙動を制御する重要な不変量である。
• Borel-Zucker 予想は、一般の状況で証明された：自然な準同型写像 Ω_(2)(X*;E) ≅ I_pC(X*;E) が存在し、H_(2)(X;E) ≅ I_pH(X*;E) を示す。
• 証明の根幹は、ファイバーごとのコホモロジー次元が d(k*Ω_(2)(E)) < (1/2)codim F を満たすことを示すことであり、これにより交差コホモロジーに必要な消滅条件が得られる。
• 結果は、ヒルベルト空間的または等ランクでない場合を含むすべての局所的に対称空間に成立し、従来の制限条件（ヒルベルト空間的、等ランク）を必要としていなかった結果を拡張する。
• 本フレームワークは、L²-コホモロジー、交差コホモロジー、重み付きコホモロジーを、L-モジュールとミクロサポートを用いた一様な組合せ的モデルで統一する。