[論文レビュー] $L^2$-contraction of large planar shock waves for multi-dimensional scalar viscous conservation laws

Moon-Jin Kang, Alexis Vasseur+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、多次元スカラー粘性保存則における大規模な平面衝撃波について、$L^2$-収縮を確立する。初期の $L^2$-摂動が小さい場合、解は時間的・空間的依存のシフト関数に従って衝撃プロファイルに収束することを示す。主な結果は、摂動の積分の大きさが小さい必要がないにもかかわらず、任意に強い衝撃波に対しても $L^2$-収縮が成り立つことである。これは、非コンpakな摂動を吸収するための動的シフトを用いた相対エントロピー枠組みにより達成される。

ABSTRACT

We consider a $L^2$-contraction of large viscous shock waves for the multi-dimensional scalar viscous conservation laws, up to a suitable shift. The shift function depends on the time and space variables. It solves a parabolic equation with inhomogeneous coefficients reflecting the perturbation. We consider a suitably small $L^2$-perturbation around a viscous planar shock wave of arbitrarily large strength. However, we do not impose any condition on the anti-derivative variables of the perturbation around shock profile. More precisely, it is proved that if the initial perturbation around the viscous shock wave is suitably small in the $L^2$ norm, then the $L^2$-contraction holds true for the viscous shock wave up to a shift function which may depend on the temporal and spatial variables. Moreover, as the time $t$ tends to infinity, the $L^2$-contraction holds true up to a time-dependent shift function. In particular, if we choose some special initial perturbation, then we can prove a $L^2$ convergence of the solutions towards the associated shock profile up to a time-dependent shift.

研究の動機と目的

• 多次元スカラー粘性保存則における大規模な平面衝撃波の $L^2$-収縮を、衝撃強度が任意に大きくても成立させる。
• 従来の安定性解析で一般的に求められていた摂動の逆微分の小さな必要性を取り除く。
• 時間的・空間的依存のシフト関数に従って $L^2$-収縮が成り立つことを証明する。このシフト関数は非一様係数をもつ放物型方程式に従う。
• 相対エントロピー法を大規模な衝撃波と一般のフラックスをもつ多次元粘性保存則に拡張し、シフトに基づく収縮枠組みを用いる。
• 時刻 $t \to \infty$ のとき、時間依存のシフト関数に従って $L^2$-収縮が成り立つことから、解が移動を除いて衝撃プロファイルに漸近的に収束することを示す。

提案手法

• 著者らは、粘性をもつ多次元スカラー保存則における粘性衝撃波の安定性を分析するため、相対エントロピー枠組みを用いる。
• 摂動と衝撃プロファイルから導かれる係数をもつ放物型方程式を満たす時間的・空間的依存のシフト関数を導入する。
• シフト関数の構成には、$|U'(x_1 + m(t))|$ で重み付けされた修正エネルギー関数を用い、衝撃構造を捉え、摂動の $L^2$-ノルムの制御を可能にする。
• 重要なステップは、フラックスの非線形性とシフトのダイナミクスに起因する項を含む、重み付き $L^2$-ノルムに対する微分不等式を導出することである。
• 証明はエネルギー推定と $L^\rho$ および $H^s$ 空間における一様なバウンディングに依存し、初期の $L^2$-摂動の小ささを用いて推定を閉じる。
• 局所的な存在性とシフト関数の正則性は、Sobolev空間における固定点法とブートストラップ法により確立され、解が $L^\rho$ および $H^s$ 空間で一様に有界であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動の逆微分が小さいという条件が不要な場合、多次元スカラー粘性保存則における大規模な平面衝撃波の $L^2$-収縮は成立するか？
• RQ2 任意に強い衝撃波に対しても、時間的・空間的依存の動的シフト関数に従って $L^2$-収縮が成り立つか？
• RQ3 相対エントロピー法は、大規模な衝撃波と一般のフラックスをもつ多次元設定において、$L^2$-収縮を証明するために適応可能か？
• RQ4 $t \to \infty$ のとき、$L^2$-小さな摂動のもとで解の漸近的挙動はいかなるものか？ また、時間依存のシフト関数に従って衝撃プロファイルに収束するか？
• RQ5 シフト関数は時間とともにどのように変化するか？ また、摂動に応じたダイナミクスを記述するPDEは何か？

主な発見

• 任意に大きな衝撃強度に対しても、時間的・空間的依存のシフト関数に従って、大規模な平面衝撃波の $L^2$-収縮が成立する。
• シフト関数は、摂動の影響を反映する非一様係数をもつ放物型方程式を満たす。
• 重み $|U'(x_1 + m(t))|$ をもつ摂動の $L^2$-ノルムは時間とともに減少し、シフトに従って収縮が保証される。
• $t \to \infty$ のとき、時間依存のシフト関数に従って $L^2$-収縮が維持され、解が移動を除いて衝撃プロファイルに漸近的に収束することを示唆する。
• 本手法は、摂動の逆微分の小ささを要しない。これは、逆微分推定に依存する従来の結果と比べて顕著な改善である。
• 証明により、シフト関数およびその導関数に対する一様なバウンディングが確立され、短時間区間における $L^\rho$ および $H^s$ 空間における解の存在性と正則性が保証される。