[論文レビュー] $L^2$ Curvature Bounds on Manifolds with Bounded Ricci Curvature

Wenshuai Jiang, Aaron Naber|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、有界リッチ曲率と非崩壊体積を満たすリーマン多様体について、$L^2$曲率の上限予想を証明し、リーマン曲率テンソルの$L^2$ノルムが一様に有界であることを確立する。さらに、グロモフ＝ハウスドルフ極限空間における特異集合が$n-4$可縮的で、$H^{n-4}$測度が有限であることを示し、$n-4$有限性予想を確認するとともに、ほとんど至るところの接錐が$mathbb{R}^{n-4} \times C(S^3/\Gamma)$に等長であることを示している。

ABSTRACT

Consider a Riemannian manifold with bounded Ricci curvature $|\Ric|\leq n-1$ and the noncollapsing lower volume bound $\Vol(B_1(p))> v>0$. The first main result of this paper is to prove that we have the $L^2$ curvature bound $\fint_{B_1(p)}|\Rm|^2 < C(n, v)$, which proves the $L^2$ conjecture. In order to prove this, we will need to first show the following structural result for limits. Namely, if $(M^n_j,d_j,p_j) \longrightarrow (X,d,p)$ is a $GH$-limit of noncollapsed manifolds with bounded Ricci curvature, then the singular set $\cS(X)$ is $n-4$ rectifiable with the uniform Hausdorff measure estimates $H^{n-4}\big(\cS(X)\cap B_1\big)

研究の動機と目的

• リッチ曲率の絶対値が$n-1$以下で、$\mathrm{Vol}(B_1(p)) > \mathrm{v} > 0$を満たすリーマン多様体について、リーマン曲率テンソルの$L^2$ノルムの上限を確立する。
• このような多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限における特異集合が、$H^{n-4}$測度が有限な$n-4$可縮的であることを証明する。
• 有界リッチ曲率を満たす非崩壊多様体の極限について、チーラーとコールディングの$n-4$有限性予想を確認する。
• 特異集合における$n-4$-a.e.の接錐が一意的であり、ある有限群$\Gamma \subseteq O(4)$を用いて$\mathbb{R}^{n-4} \times C(S^3/\Gamma)$に等長であることを示す。

提案手法

• 曲がりくねった領域の分解定理を用いて、曲率が制御され、幾何学が積型に近い$(\delta,\tau)$-ネック領域で多様体を被覆する。
• 調和関数論と$\epsilon$-正則性定理を用いて、ネック領域上で$\mathcal{H}$-体積および局所$L^2$曲率推定を行う。
• $\delta$-スプリット関数と調和半径推定を適用して、曲率を制御し、Reifenberg型の正則性を証明する。
• ネック領域における下からのアーフォルス正則性と体積比較推定を証明し、特異集合の$H^{n-4}$測度を有界にする。
• 帰納法と反復被覆スキームを用いて、最大ネック領域を構成し、分解を精緻化する。
• ネック分解と接錐解析を活用して、$n-4$-a.e.の接錐が一意的であり、$\mathbb{R}^{n-4} \times C(S^3/\Gamma)$の形をとることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界リッチ曲率と非崩壊体積を満たすリーマン多様体について、有界トポロジーまたは有界直径の仮定なしに、$L^2$曲率の上限が成り立つかどうか。
• RQ2 このような多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限における特異集合が、$H^{n-4}$測度が有限な$n-4$可縮的か。
• RQ3 特異点の$n-4$-a.e.における接錐が一意的であり、ある$\Gamma \subseteq O(4)$を用いて$\mathbb{R}^{n-4} \times C(S^3/\Gamma)$に等長か。
• RQ4 チーラーとコールディングの$n-4$有限性予想は、有界リッチ曲率と非崩壊体積の仮定のもとで証明可能か。
• RQ5 リッチ曲率と体積の下界のみを仮定した場合、極限空間における特異集合の構造はいかなるものか。

主な発見

• $L^2$曲率の上限が成り立つ：$|\mathrm{Ric}| \leq n-1$かつ$\mathrm{Vol}(B_1(p)) > \mathrm{v} > 0$を満たす任意の$p$について、$\fint_{B_1(p)} |\mathrm{Rm}|^2(x)\,dx < C(n,\mathrm{v})$が成り立ち、$L^2$予想が証明される。
• グロモフ＝ハウスドルフ極限空間$X$における特異集合$\mathcal{S}(X)$は$n-4$可縮的であり、$H^{n-4}(\mathcal{S}(X) \cap B_1) < C(n,\mathrm{v})$を満たす。これにより、$n-4$有限性予想が確認される。
• 任意の$x \in \mathcal{S}(X)$について$n-4$-a.e.で、$x$における接錐は一意的であり、ある$\Gamma_x \subseteq O(4)$を用いて$\mathbb{R}^{n-4} \times C(S^3/\Gamma_x)$に等長である。
• 特異集合の$H^{n-4}$測度は、次元$n$と体積下限$\mathrm{v}$にのみ依存する定数によって有界である。
• 証明により、与えられた仮定のもとで$L^2$曲率の上限が自動的に成り立つことが示され、アンダーソンの次元4における予想が解決され、高次元へと拡張された。
• 特異集合の構造は完全に同定された：可縮的であり、$H^{n-4}$測度が有限であり、ほとんど至るところの接錐は$\mathbb{R}^{n-4}$と球面商のメトリックコーンの積である。