[論文レビュー] $L^2$-harmonic $p$-forms on submanifolds with finite total curvature

Jundong Zhou|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、球面上の完全で非コンパクトな部分多様体で、正規 bundle が平坦である場合に、$L^2$-調和 $p$-形式の空間に関する2つの主要な結果を確立する：(1) 総曲率が十分に小さいとき、$H^p(L^2(M)) = \{0\}$ となる。 (2) 総曲率が有限であるとき、この空間の次元は有限である。証明は、Sobolev 不等式、$L^2$-推定、Moser の反復法を用いて、調和形式の点ごとの成長を制御することに依存する。

ABSTRACT

Let $H^p(L^2(M))$ be the space of all $L^2$-harmonic $p$-forms $(2\leq p\leq n-2)$ on complete submanifolds $M$ with flat normal bundle in spheres. In this paper, we first show that $H^p(L^2(M))$ is trivial if the total curvature of $M$ is less than a positive constant depending only on $n$. Second, we show that the dimension of $H^p(L^2(M))$ is finite if the total curvature of $M$ is finite. The vanishing theorem is a generalized version of Gan-Zhu-Fang theorem and the finiteness theorem is an extension of Zhu-Fang theorem.

研究の動機と目的

• $L^2$-調和 2-形式に関する Gan-Zhu-Fang の消滅定理を、$2 \leq p \leq n-2$ の $p$-形式へ一般化すること。
• 同じ有限な総曲率条件の下で、1-形式に関する Zhu-Fang の有限性結果を $p$-形式へ拡張すること。
• $L^2$-調和 $p$-形式の消滅および有限性のための、次元 $n$ のみに依存する鋭い曲率閾値を確立すること。
• 総曲率、正規 bundle の平坦性、および球面上の部分多様体における $L^2$-コhomology の間の相互作用を分析すること。

提案手法

• 球面上の部分多様体に適応された Sobolev 不等式（補題 2.1）を用いる。ここには平均曲率 $|H|$ と計量が関与する。
• $L^2$-推定と Bochner 型の恒等式を適用し、第二基本形式 $\Phi$ を通じて調和 $p$-形式の $L^2$-ノルムを制御する。
• 切り上げ関数 $\tau_k$ を用いた $|\omega|^q$ 上での Moser の反復法を用い、$L^2$ ノルムから点ごとの $L^\infty$ 界を導出する。
• $q_k = \frac{2n^k}{(n-2)^k}$ および縮小する球に台を持つ切り上げ関数 $\tau_k$ を用いた反復スキームを用い、$L^2$ 界を $L^\infty$ 制御へ伝搬する。
• $L^\infty$ 界を用いた体積比較議論を適用し、固定された球上で $\sup |\omega|^2$ を $|\omega|^2$ の積分と関係付ける。
• $L^\infty$ 界と [25] の補題 11 からの次元推定を組み合わせることで、$\dim H^p(L^2(M))$ の有限性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 総曲率がどのような条件下で、$2 \leq p \leq n-2$ の $L^2$-調和 $p$-形式の空間 $H^p(L^2(M))$ が消えるか？
• RQ2 $\|\Phi\|_{L^n(M)} < \infty$ のとき、$H^p(L^2(M))$ の次元が有限になるか？
• RQ3 $p=2$ のときの消滅結果が、次元 $n$ のみに依存する曲率閾値のもとで、より高い $p$-形式へ一般化可能か？
• RQ4 $H^p(L^2(M)) = \{0\}$ となる一様な曲率閾値 $c(n)$ が存在するか？ すなわち、$\|\Phi\|_{L^n(M)} < c(n)$ ならば常に成り立つか？
• RQ5 $\dim H^p(L^2(M))$ の有限性は、$M$ に有限個の非抛物的領域を持つことを示唆するか？

主な発見

• 総曲率 $\|\Phi\|_{L^n(M)} < c(n)$ ならば、$H^p(L^2(M))$ は自明である（$H^p(L^2(M)) = \{0\}$）。ここで $c(n)$ は $n$ のみに依存する正の定数である。
• $\|\Phi\|_{L^n(M)} < \infty$ かつ $2 \leq p \leq n-2$ ならば、$H^p(L^2(M))$ の次元は有限である。
• 定理 1.1（消滅定理）は、Gan-Zhu-Fang の定理 B を $p=2$ から $2 \leq p \leq n-2$ へ一般化したものである。
• 定理 1.2（有限性定理）は、Zhu-Fang の定理 A を $p=1$ から $2 \leq p \leq n-2$ へ拡張したものである。
• $L^\infty$ 界 $\sup_{B_{r_0+1}(x_0)} |\omega|^2 \leq C_6 \int_{B_{r_0+1}(x_0)} |\omega|^2$ は、Moser の反復法により導出され、次元の有限性に不可欠である。
• $L^\infty$ 界と被覆議論を用いた体積正規化された次元推定を組み合わせることで、$H^p(L^2(M))$ の有限次元性が導かれる。