[論文レビュー] $L^2$-index formula for proper cocompact group actions

W Hang|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単位的局所コンパクト群 $G$ が完備なリーマン多様体 $X$ 上に適切で、コンパクトな等長作用をもつ場合の、$G$-不変な楕円型擬微分作用素の $L^2$-インデックス公式を確立する。熱核法と $K$-理論を用いて、$L^2$-インデックスが接 bundle 上での積分として表され、その被積分関数は $\text{ch}(\text{symbol})$、$\text{ch}(\text{curvature})$、$\text{ch}(\text{twist})$ の積であることを証明する。これは、非コンパクトな設定におけるアティヤおよびコンネス＝モスコビチの公式を一般化する。

ABSTRACT

We study the index of the $G$-invariant elliptic pseudo-differential operator acting on a complete Riemannian manifold, where a unimodular, locally compact group $G$ acts properly and cocompactly. An $L^2$-index formula was obtained using the heat kernel method.

研究の動機と目的

• 群 $G$ が完備なリーマン多様体 $X$ 上に適切で、コンパクトに作用し、等長的である非コンパクトな群作用への $L^2$-インデックス公式の一般化を図ること。
• $G$-トレースとフォン・ノイマン代数の技法を用いて、$G$-不変な楕円型作用素の $L^2$-インデックスの位相的公式を確立すること。
• アティヤの自由でコンパクトな作用に対する $L^2$-インデックス公式と、単位的リー群の同次空間に対するコンネス＝モスコビチの公式を統合・拡張すること。
• 特に、$X/G$ が軌道多様体（orbifold）である場合に、$L^2$-インデックスと軌道多様体インデックスの違いを明確にすること。ここでは、$L^2$-インデックスは一般に有理数値をとり、軌道多様体インデックスは整数値をとる。

提案手法

• 作用素 $L^2(X,E)$ 上の $G$-トレースを用いて、$\text{Ker}(P_0)$ と $\text{Ker}(P_0^*)$ への射影のフォン・ノイマントレースの差として $L^2$-インデックスを定義する。
• カスパロフの $K$-理論フレームワークを用いて、$L^2$-インデックスの計算を高次のインデックスを $K_0(C^*(G))$ に保ちながらディラック型作用素に還元する。
• 熱核法を用いて、曲率と特徴類の群作用による不変性を活かして、ディラック作用素の $L^2$-インデックスを計算する。
• 群 $G$ と部分多様体 $V$ 上の $H$-不変な分解 $\frak{g} = \frak{h} \times \frak{m}$ と同次空間 $G/H$ 上の曲率形式を用いて、$TX$ 上の積分を $G \times V$ 上の $G$-不変形式に持ち上げる。
• チャーン類と $\text{ch}(\text{symbol})$ を用いて、インデックスを接空間上の積分として表現し、$R(H)$ 上の表現環とチホノフの同型写像を用いて $\text{ch}(\text{curvature})$ を計算する。
• 位相的不変性 $\text{ch}$ と $\text{ch}(\text{curvature})$ を用いて、$\text{ch}(\text{symbol})_V = \text{ch}(a)$ および $\text{ch}(\text{curvature})_V = \text{ch}(\text{curvature form on } V)$ を示すことにより、一般公式とコンネス＝モスコビチの公式の同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $G$ が完備なリーマン多様体 $X$ 上に適切で、コンパクトに、等長的に作用するとき、$G$-不変な楕円型作用素の $L^2$-インデックスをどのように位相的に計算できるか。
• RQ2 このような群作用の下で、$L^2$-インデックスと $K_0(C^*(G))$ 内の高次インデックスの正確な関係は何か。
• RQ3 この $L^2$-インデックス公式は、非コンパクトな設定において、アティヤおよびコンネス＝モスコビチの結果をどのように一般化するか。
• RQ4 $X/G$ が軌道多様体である場合に、$L^2$-インデックスと軌道多様体インデックスがなぜ異なるのか。また、両者が一致するのはどのような場合か。
• RQ5 タイプ II フォン・ノイマン代数と $G$-不変幾何学の文脈において、熱核法をどのように $L^2$-インデックスの計算に適応できるか。

主な発見

• 群 $G$-不変な楕円型作用素 $P$ の $L^2$-インデックスは、$\text{ind}P = \frac{1}{\text{vol}(G)} \times \text{vol}(G) \times \text{int}_{TX} c \text{ch}(\text{symbol}) \text{ch}(\text{curvature}) \text{ch}(\text{twist})$ として与えられる。ここで $c$ は $G$-不変なカットオフ関数で、$\text{int}_G c(g^{-1}x) dg = 1$ を満たす。
• 多様体 $X$ 上のディラック型作用素 $D$ の $L^2$-インデックスは、$\text{ind}D = \text{int}_{TM} c \text{ch}(\text{symbol}) \text{ch}(\text{curvature}) \text{ch}(\text{twist})$ として計算され、$G$-不変性により積分が $V$ 上に還元される。
• 作用素 $a$ が $R(H) \to K_H(V)$ のチホノフ同型写像による $V(\text{symbol})|_{V^+}$ の逆像であるとき、$\text{ind}D = \text{int}_V \text{ch}(a) \text{ch}(\text{curvature})$ はコンネス＝モスコビチの公式と一致する。このとき $\text{ch}$-類は接続の選び方に依存しない。
• $\text{ch}(\text{symbol})_V$ と $\text{ch}(\text{curvature})_V$ は両方とも $H$-不変であり、表現 $r:H \to \text{GL}(E)$ のチャーン類に等しい。これは、インデックスが $H$-表現と曲率にのみ依存することを示している。
• $\text{ch}(\text{curvature})$ の類は位相的に不変である：$\text{ch}(\text{curvature})_V = \text{ch}(\text{curvature form on } V)$ は、使用する接続にかかわらず成り立つ。これは、$\text{ch}$ と $\text{ch}(\text{curvature})$ の位相的性質による。
• $L^2$-インデックスは一般に有理数値をとり、軌道多様体インデックスは整数値をとる。両者が一致するのは $X/G$ が滑らかな多様体である場合に限る。これは、幾何学的・解析的インデックス理論における重要な相違を示している。