[論文レビュー] L^2-rigidity in von Neumann algebras

Jesse Peterson|ArXiv.org|May 1, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、von Neumann代数における$L^2$-剛性を導入し、調査する。非素性を示すII$_1$因子、あるいは性質$\Gamma$を有する因子は、すべての導来が粗い対応$\overline{\otimes}L^2(N)$に値をとるとき、代数上に消える$L^2$-剛性を有する。自由確率論、$L^2$-コホモロジー、完全正値マップの半群による変形の技術を用いて、拡散的有限von Neumann代数の自由積、あるいは正の最初の$L^2$-ベッチ数を有する$L\Gamma$因子における非可換部分因子が素であることを証明し、$L^2$-Haagerup性質を用いて、Ozawaの自由群因子における部分因子の素性に関する結果の新たな証明を与える。

ABSTRACT

We introduce the notion of L^2-rigidity for von Neumann algebras, a generalization of property (T) which can be viewed as an analogue for the vanishing of 1-cohomology into the left regular representation of a group. We show that L^2-rigidity passes to normalizers and is satisfied by nonamenable II_1 factors which are non-prime, have property $Γ$, or are weakly rigid. As a consequence we obtain that if $M$ is a free product of diffuse von Neumann algebras, or if $M = LΓ$ where $Γ$ is a finitely generated group with $b_1^{(2)}(Γ) > 0$, then any nonamenable regular subfactor of $M$ is prime and does not have properties $Γ$ or (T). In particular this gives a new approach for showing primeness of all nonamenable subfactors of a free group factor thus recovering a well known recent result of N. Ozawa.

研究の動機と目的

• 有限von Neumann代数の包含に関して、$L^2(N)\overline{\otimes}L^2(N)$への導来の消滅を用いて、$L^2$-剛性を定義し、研究すること。
• 自由確率論および非微小状態自由エントロピーの文脈において、$L^2$-剛性と$L^2$-コホモロジー型導来の消滅との関係を確立すること。
• 拡散的有限von Neumann代数の自由積、あるいは正の最初の$L^2$-ベッチ数を有する$L\Gamma$因子における非可換部分因子が素であることを証明すること。
• $L^2$-Haagerup性質を用いて、Ozawaの自由群因子における部分因子の素性に関する結果の、新たなコホモロジー的証明を提供すること。

提案手法

• 可閉導来とユニタルでトレースを保つ完全正値マップの半群とのSauvageot-Sauvageot対応を用いて、$L^2$-変形を分析する。
• すべての導来が$(B)_1$上で$\|\cdot\|_2$ノルムに関して一様に$\overline{\otimes}L^2(N)$に消えるように、$B \subset N$の部分代数に$L^2$-剛性を適用する。
• $L^2(N)^{\oplus\infty}$への導来から生じる$L^2$-変形を用いて、非可換部分因子の構造を分析する。
• 粗い対応の混合性および$L^2$-Haagerup性質を用いて、$Q'\cap N$が拡散的であるとき、$W^*(\mathcal{N}_N(Q'\cap N))$上で導来が消えることを示す。
• 非可換因子が性質$\Gamma$を有する場合に$L^2$-剛性が成り立つことを示すために、$C^*$-代数論および超積（$N^\omega$）の技術を用いる。これにより、$R\overline{\otimes}L\mathbb{F}_2$を含む、非可換因子が性質$\Gamma$を有する場合の$L^2$-剛性が保証される。
• OzawaおよびPopaによるテンソル積における一意的素因数分解の結果を活用し、非可換II$_1$因子のテンソル積に対する新しい一意的因数分解の例を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数$B \subset N$上で、粗い対応$L^2(N)\overline{\otimes}L^2(N)$への導来が一様に消えるのはいつか？
• RQ2 von Neumann代数$N$が、すべての導来が$N$上で消えるという$L^2$-剛性が成り立つ条件は何か？
• RQ3 $L^2$-剛性は、群因子$L\Gamma$における最初の$L^2$-ベッチ数および$L^2$-Haagerup性質とどのように関係するか？
• RQ4 $L^2$-剛性を用いて、自由積またはII$_1$因子のテンソル積における非可換部分因子の素性を証明できるか？
• RQ5 非可換部分因子がII$_1$因子のテンソル積に埋め込まれるための条件は何か？特に、分解における因子のコーナーに埋め込まれる条件は？

主な発見

• II$_1$因子$N$が非素性または性質$\Gamma$を有するならば、$N$は$L^2$-剛性を有する。これは、すべての導来が$(N)_1$上で$\|\cdot\|_2$ノルムに関して一様に$\overline{\otimes}L^2(N)$に消えることを意味する。
• 自由積の拡散的有限von Neumann代数、あるいは$b_1^{(2)}(\Gamma) > 0$を満たす$L\Gamma$因子$N$における非可換部分因子$Q \subset N$に対して、$L^2(N)^{\oplus\infty}$への導来が$Q' \cap N$上で消える。これにより、$Q$が素であることが示される。
• $N$が性質$\Gamma$を有する非可換因子であるとき、$L^2(N)^{\oplus\infty}$へのすべての導来は$N$上で消える。これにより、このような代数に対して$L^2$-剛性が確立される。
• Ozawaの結果（$\Gamma = \mathbb{F}_n$（$2 \leq n \leq \infty$）の自由群因子における非可換部分因子が素である）の新たな証明が与えられる。この証明では、$\ell^2\Gamma^{\oplus\infty}$への適切なコサイクルの存在を用いる。
• テンソル積$M = M_1 \overline{\otimes} \cdots \overline{\otimes} M_m$に対して、各$M_i$が非消滅の$L^2$-変形を有するならば、任意の正則な非可換部分因子$B \subset M$は、ある$k$に対して$M_k'$のコーナーに埋め込まれる。これにより、ユニタリ同型およびスケーリングを除いて一意的素因数分解が得られる。
• 非可換II$_1$因子のテンソル積において、非消滅の$L^2$-変形を有する場合、一意的素因数分解が成り立つ。すなわち、$N_1 \overline{\otimes} \cdots \overline{\otimes} N_n \cong M_1 \overline{\otimes} \cdots \overline{\otimes} M_m$ならば、$n = m$であり、適切な置換およびユニタリ同型を施すと$N_k^{t_k} \cong M_k$となる。