[論文レビュー] $L^{2}$-spectral gaps for time discrete reversible Markov chains

Achim Wuebker|ArXiv.org|Aug 6, 2009

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、可逆な時刻離散型マルコフ連鎖の周期性からの距離を測る新しい等周的定数 $K$ を導入し、$L^2$-スペクトルギャップが存在するための必要十分条件を提供する。標準的な等周的定数 $k$ と $K$ を用いてスペクトルギャップの下界を確立し、周期性の問題により $k$ だけでは不十分な既存理論のギャップを解消する。

ABSTRACT

In this paper we study the spectral properties of Markov-operator on $L^{2}$-spaces. Lawler and Sokal (Trans. Amer. Math. Soc., 1988, 309, pp. 557-580) used isoperimetric constants for discrete and continuous time Markov chains to obtain a spectral gap at 1. For time discrete Markov chains this does not exclude periodic behavior. We define a new constant measuring the distance from periodicity and give necessary and sufficient conditions for the existence of a global spectral gap in terms of this constant.

研究の動機と目的

• 時刻離散型可逆マルコフ連鎖において、周期的挙動のため失敗する可能性がある既存の等周的手法の限界を是正すること。
• このような連鎖における周期性からの距離を定量化する新しい定数 $K$ を定義すること。
• $k$ と $K$ を用いて、グローバル $L^2$-スペクトルギャップの存在に必要な十分条件を確立すること。
• $k$ と $K$ に依存するスペクトルギャップの下界を提供し、従来の推定値を改善すること。

提案手法

• 可逆な時刻離散型マルコフ連鎖における周期性からの逸脱を測る新しい等周的定数 $K$ を導入すること。
• $n$ ステップ遷移カーネル $p^n(x, A^c)$ に関連する等周的定数 $k_n$ の族を定義すること。
• 幾何学的および測度論的議論を用いて、2 ステップ連鎖の等周的定数 $k_2(A)$ を $k(A)$ と $K$ に結びつけること。
• 集合 $C = A \triangle B_{\rho}$ の測度に応じて、$\pi(C) \geq \delta_A \pi(A)$ または $\pi(C) \leq \delta_A \pi(A)$ の場合に応じて、$k_2(A)$ に対する3つの異なる下界を確立すること。
• 三重不等式 (36) におけるすべての関連パrameter $\delta, \epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon$ についての上界をとることで、$k_2$ の一様な下界を導出すること。
• $k_2 > 0$ がかつて $0 < k \leq K < 2$ であることと同値であることを証明し、スペクトルギャップ条件を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的挙動を示す可能性のある時刻離散型可逆マルコフ連鎖に対して、グローバル $L^2$-スペクトルギャップの存在に必要な十分条件を単純に確立できるか？
• RQ2 標準的な等周的定数 $k$ をどのように改良すれば、周期性を考慮に入れ、スペクトルギャップの存在を保証できるか？
• RQ3 2 ステップ遷移カーネルの等周的定数 $k_2$ と元の連鎖のスペクトルギャップとの関係は何か？
• RQ4 $k$ と新しい周期性検出定数 $K$ に依存するスペクトルギャップの下界を導出できるか？

主な発見

• 可逆な時刻離散型マルコフ連鎖におけるグローバル $L^2$-スペクトルギャップの存在に必要な十分条件は、$0 < k \leq K < 2$ であり、$K$ は周期性からの距離を測る。
• スペクトルギャップ $r$ は $r = \min(r_1, r_{-1})$ を満たし、$r_1$ は 1 におけるギャップ、$r_{-1}$ は -1 におけるギャップである。$k_2 > 0$ がかつて $0 < k \leq K < 2$ であることと同値である。
• 下界として $k_2 \geq \sup_{\delta,\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon} \min\left[ \frac{k^2}{16}\delta, \frac{k}{4}(\epsilon_1\epsilon_2(1-\delta)-\delta), \epsilon\left(k\left(\frac{(2-\epsilon)(1-\epsilon_1)(1-\epsilon_2)(1-\delta)}{(1-\epsilon)K}-\frac{1}{1-\epsilon}\right)-\frac{\epsilon}{1-\epsilon}\right) \right]$ が得られ、$K < 2$ のとき正である。
• 証明により、$0 < k \leq K < 2$ の条件下で $k_2 > 0$ であることが示され、スペクトルギャップの存在が保証される。
• $k_2$ の下界を導出するために用いられた幾何的アプローチは、非可逆連鎖へ一般化可能である。