[論文レビュー] $L^2$-type contraction for shocks of scalar viscous conservation laws with strictly convex flux

Moon-Jin Kang|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、厳密に凸なフラックスを有するスカラー保存則における粘性衝撃波の周囲の大きな摂動について、重み付き相対エントロピー枠組みを用いて $L^2$-型収縮を確立する。適切に選ばれた厳密に凸なエントロピーを構築し、シフト不変収縮推定を適用することにより、一般の厳密に凸なフラックスに対して小振幅衝撃波の安定性を証明する。これは、従来の結果がバーガース型フラックスに限られていた点を解消し、粘性保存則に対する相対エントロピー法における重要なギャップを埋める。

ABSTRACT

We study the $L^2$-type contraction property of large perturbations around shock waves of scalar viscous conservation laws with strictly convex fluxes in one space dimension. The contraction holds up to a shift, and it is measured by a weighted related entropy, for which we choose an appropriate entropy associated with the strictly convex flux. In particular, we handle shocks with small amplitude. This result improves the recent article [18] of the author and Vasseur on $L^2$-contraction property of shocks to scalar viscous conservation laws with a special flux, that is almost the Burgers flux.

研究の動機と目的

• 一般の厳密に凸なフラックスを有するスカラー保存則における、小振幅粘性衝撃波の周囲の大きな摂動について $L^2$-型収縮を確立すること。
• 従来の結果がバーガースフラックスに近い（二次的で小さな摂動を伴う）フラックスにのみ適用可能であったという制限を克服すること。
• 複数のエントロピー関数の族を用いるのではなく、Kruzkovの $L^1$ 理論とは異なり、単一の適切に選ばれたエントロピー関数を用いることで、強固な収縮枠組みを構築すること。
• フラックスの凸性に適合した重み関数を用いた相対エントロピー法により、小振幅衝撃波の安定性を証明すること。
• [18] の収縮結果を、フラックスに依存するエントロピーおよび重み関数を導入することにより、すべての厳密に凸なフラックスへ一般化すること。

提案手法

• フラックス $f(u)$ に関連する厳密に凸なエントロピー関数 $\theta(u)$ を構築し、$\theta''(u) \to \text{const} > 0$ が一様に成り立つように保証する。
• 衝撃波形 $S(x - \bar{\rho}t)$ および $\theta'(u)$ を用いて、衝撃波周辺に局所化する重み関数 $\rho(x,t)$ を導入する。
• 相対エントロピー法を、$L^2$-ノルムを直接用いる代わりに、解と衝撃波との間の $L^2$-型距離を測る目的で、エントロピー $\theta$ を用いて適用する。
• 摂動された解と衝撃波形を一致させるために、シフト関数 $\bar{\rho}(t)$ を導入し、重み付き相対エントロピーを最小化する。
• 大きな $|\theta'(u) - \theta'(S)|$ の値を制御するための切断技術を用い、エネルギー散逸バランスにおける一様な推定を可能にする。
• 重み付き相対エントロピーに対する微分不等式を導出し、フラックスの厳密な凸性および小振幅仮定のもとで、それが時間とともに減少することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の厳密に凸なフラックス（バーガース型に近いものに限らない）に対して、スカラー保存則における粘性衝撃波の $L^2$-型収縮を確立できるか？
• RQ2 複数のエントロピー関数の族を用いる代わりに、単一のエントロピー関数のみを用いて $L^2$-型安定性の収縮を達成できるか？
• RQ3 相対エントロピー法は、一般の厳密に凸なフラックスを有する小振幅衝撃波の周囲の大きな摂動に対処できるか？
• RQ4 エントロピーの選択が、異なるフラックス関数にわたって収縮推定が一様に成り立つように保証する上で果たす役割は何か？
• RQ5 フラックスに適合した重み関数を用いた重み付き相対エントロピー枠組みにより、粘性衝撃波の $L^2$-型収縮を安定化できるか？

主な発見

• 本稿は、任意の厳密に凸なフラックスを有するスカラー保存則における小振幅粘性衝撃波の周囲の大きな摂動について、$L^2$-型収縮を証明する。
• 収縮は、摂動された解と衝撃波形を一致させる時間依存のシフト $\bar{\rho}(t)$ まで成り立つ。
• 収縮は、フラックス $f(u)$ に関連する厳密に凸なエントロピー $\theta(u)$ を用いて定義された重み付き相対エントロピーによって測定され、局所的な二次的挙動を保証する。
• Kruzkovの $L^1$ 理論で見られるように複数のエントロピーを必要とせず、代わりにフラックスに適合した単一のエントロピーを用いることで、$L^2$-型安定性を達成する。
• 主な推定は、重み付き相対エントロピーの時間的減少を示す微分不等式であり、その減少率はフラックスの厳密な凸性および衝撃波の小振幅性によって制御される。
• 本結果は、[18] がバーガースのフラックスに近いフラックスにのみ適用可能であったのを、新しいエントロピー・ウェイト戦略を導入することで、すべての厳密に凸なフラックスへ $L^2$-収縮を拡張し、それを改善する。