[論文レビュー] $L^2$ vanishing theorems for positive line bundles and adjunction theory, Lecture Notes of a CIME course on "Transcendental Methods of Algebraic Geometry" (Cetraro, Italy, July 1994)

Jean-Pierre Demailly|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 50被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、$L^2$ 評価と乗数理想層を用いた解析的手法を開発し、射影多様体上の線分束の有効な消失定理および非常に正則性の基準を証明する。複素 Monge-Ampère 方程式を解き、Lelong 数と電流の交差理論を用いることで、$mL$ が非常に正則となるための有効な境界を確立し、次元が高次である場合の Fujita の予想を、明示的な数値的条件を用いて改善する。

ABSTRACT

The notes start with an elementary introduction to a few important analytic techniques of algebraic geometry: closed positive currents, $L^2$ estimates for the $\dbar$-operator on positive vector bundles, Nadel's vanishing theorem for multiplier ideal sheaves (a generalization of the well-known Kawamata-Viehweg vanishing theorem). Applications to adjoint line bundles are then discussed. T.~Fujita conjectured in 1987 that $K_X+(n+2)L$ is very ample for every ample line bundle $L$ on a non singular projective variety $X$ with $\dim X=n$. The answer is known only for $n\le 2$ (I.~Reider, 1988). In the last years, various bounds have been obtained for integers $m$ such that $2K_X+mL$ is very ample (by J.~Kollár, L.~Ein-R.~Lazarsfeld, Y.T.~Siu and the author, among others). Two approaches are discussed: an analytic approach via Monge-Ampère equations and current theory, and a more algebraic one (due to Siu) via multiplier ideal sheaves and Riemann-Roch. Finally, an effective version of the big Matsusaka theorem is derived, in the form of an explicit bound for an integer $m$ such that $mL$ is very ample, depending only on $L^n$ and $L^{n-1}\cdot K_X$; these bounds improve Siu's results (1993), and essentially contain the optimal bounds obtained by Fernandez del Busto for the surface case.

研究の動機と目的

• 正則な線分束に対して、特に $L^2$ 評価と乗数理想層を用いた解析的手法により、有効な $L^2$ 消失定理を確立すること。
• 射影多様体上の線分束の非常に正則性の有効な基準を提供することにより、Fujita の予想を高次元に拡張すること。
• 乗数理想層を介して、特異な計量と曲率条件を代数的条件に翻訳することで、解析的・代数的幾何の橋渡しをすること。
• 再帰的交差理論とホッジ理論を用いて、線分束が非常に正則となるために必要な正則性の明示的な数値的境界を導出すること。
• 代数的アプローチ（例：Riemann-Roch、基底集合の解析）と比較し、Fujita 予想に対する解析的手法が、次元の制限がある代数的アプローチに比べて有効な境界をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 正の曲率条件の下で、$H^q(X, K_X \tensor L \tensor \fancyscript{I}(ancyscript{φ}))$ の消失定理を証明するために、Hörmander の $L^2$ 評価と Bochner 技法を用いる。
• 特異な擬・シュワルツ関数的重み $\varphi$ に関連する乗数理想層 $\fancyscript{I}(\varphi)$ の理論を適用する。これらは整数的であり、特異性を制御する。
• Aubin-Calabi-Yau 定理を用いて、$(i\partial\bar\partial\varphi)^n = \text{デルタ関数の線形結合}$ の形の複素 Monge-Ampère 方程式を解き、孤立した特異性を持つ計量を構成する。
• Lelong 数と正の電流の交差理論を用いて、線分束の局所的正則性を測定し、計量 $\varphi$ の特異性を制御する。
• 次元に関する再帰的帰納法を用い、ホッジ理論と Hodge-Taniyama 不等式を適用して、部分多様体の次数を境界づけ、数値的条​​件を導出する。
• H"ormander-Kodaira-Nakano の $L^2$-評価を、Riemann-Roch 公式と基底集合の解析と併用して、非常に正則性のための $m$ の有効な境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影 $n$ 次元多様体上の非常に正則な線分束 $L$ に対して、$mL$ が非常に正則となるような $m$ の有効な境界は何か？
• RQ2 解析的手法（$L^2$ 評価と乗数理想層を含む）を用いて、高次元における Fujita 予想を有効に証明できるか？
• RQ3 与えられた $0$ 次元部分スキーム に沿って正確に消失する乗数理想層を持つように、正則な線分束上の特異計量をどのように構成できるか？
• RQ4 Seshadri 定数と Lelong 数は、線分束の局所的正則性を特徴付ける役割を果たすか？
• RQ5 解析的手法と代数的アプローチ（例：Riemann-Roch、基底集合解析）を比較すると、有効な非常に正則性基準を導出する際に、どちらが優れているか？

主な発見

• $n=2$ の場合、$mL$ が非常に正則となるための条件として、$m \geq 4 \cdot \frac{(L \cdot (K_X + 4L))^2}{L^2}$ を示し、この境界はほぼ最適である。さらに精密化された形では、$m > \frac{1}{2} \left[ \frac{(L \cdot (K_X + 4L) + 1)^2}{L^2} + 3 \right]$ が得られる。
• 高次元では、$m_0L - B$ がネフとなるような再帰的境界 $m_0$ を導出し、$m_0$ が $L^n$、$L^{n-1} \cdot H$、$L^{n-1} \cdot B$ に依存することを示し、$m_0 \leq (2n)^{(3^{n-1}-1)/2} \cdot \frac{(L^{n-1} \cdot (B+H))^{(3^{n-1}+1)/2} (L^{n-1} \cdot H)^{3^{n-2}(n/2 - 3/4) - 1/4}}{(L^n)^{3^{n-2}(n/2 - 1/4) + 1/4}}$ が得られる。
• 孤立した対数的極を持つ特異計量 $\varphi$ と、特定の点における Lelong 数を指定するため、デルタ関数を右辺とする複素 Monge-Ampère 方程式を解くことで、その構成が達成される。
• 乗数理想層 $\fancyscript{I}(\varphi)$ が整数的であり、計量の特異性を制御できることを示し、$L^2$ 消失定理の適用が可能になる。
• この手法により、$L$ が正の曲率電流を持つとき、$H^q(X, K_X \otimes L \otimes \fancyscript{I}(\varphi)) = 0$（$q \geq 1$）が成り立つことが証明され、Kawamata-Viehweg の消失定理が一般化される。
• $m_0$ が導出された境界を満たすとき、$H + m_0L - B$ が非常に正則であることが確立され、$H$ は非常に正則な除集合、$B$ は固定された有効除集合である。