[論文レビュー] $L^2$ well posed Cauchy Problems and Symmetrizability of First Order Systems

Guy Métivier|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、微局所的対称化子の $(t,x,\tau)$ におけるリプシッツ連続性が、一階系の $L^2$ としての適切性を十分に保証することを確立し、与えられた滑らかさを持つ対称化子の存在が、同じ滑らかさを持つ完全対称化子の存在と同値であることを証明している。この同値性により、時間反転のもとでの対称化子存在の不変性が保証され、局所的一意性および特異点の有限速度伝播が得られる。

ABSTRACT

The Cauchy problem for first order system $L(t, x, \\D_t, \\D_x)$ is known to be well posed in $L^2$ when a it admits a microlocal symmetrizer $S(t,x, \\xi)$ which is smooth in $\\xi$ and Lipschitz continuous in $(t, x)$. This paper contains three main results. First we show that a Lipsshitz smoothness globally in $(t,x, \\xi)$ is sufficient. Second, we show that the existence of symmetrizers with a given smoothness is equivalent to the existence of \\emph{full symmetrizers} having the same smoothness. This notion was first introduced in \\cite{FriLa1}. This is the key point to prove the third result that the existence of microlocal symmetrizer is preserved if one changes the direction of time, implying local uniqueness and finite speed of propagation.

研究の動機と目的

• 微局所的対称化子の $(t,x,\tau)$ におけるリプシッツ連続性が、一階系の $L^2$ としての適切性を十分に保証することを確立すること。
• 与えられた滑らかさを持つ対称化子の存在と、同じ滑らかさを持つ完全対称化子の存在との間の同値性を証明すること。
• 微局所的対称化子の存在が時間反転のもとで不変であることを示し、これにより局所的一意性および特異点の有限速度伝播が導かれるようにすること。
• 対称化子の滑らかさと強い双曲型性の役割が、対称系でない場合の双曲型系の適切性において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 波パッケット局在化と微局所解析を用いて、対称化子 $S(t,x,\tau)$ を含む主要推定式を通じてエネルギー推定を導出する。
• パラ微分型計算と関数解析的計算を用いて、係数の正則性が制限された系を扱う。
• スペクトル射影子と固有値の連続性の分析を通じて、微局所的対称化子と完全対称化子との同値性を確立する。
• 行列 $J_t$ の経路に沿って $t \in [0,1]$ におけるホモトピー論法を用いて、対称化子の正定性を保つ。
• $\mathbf{S}(\tau,a)$ の有界性と対称性、および $L(\tau,a)$ の核上での $\mathrm{Re}(\mathbf{S}J u,u)$ の一様正定性に依拠する。
• スペクトル分解を用いてグローバル対称化子 $S(a)$ を構成する：$S(a) = \sum_{\tau \in \Sigma(a)} \Pi(\tau,a)^* \mathbf{S}(\tau,a) \Pi(\tau,a)$ であり、これにより対称性と正定性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微局所的対称化子 $S(t,x,\tau)$ の $(t,x,\tau)$ におけるリプシッツ連続性は、一階系の $L^2$ としての適切性を十分に保証するか？
• RQ2 与えられた滑らかさを持つ対称化子の存在は、同じ滑らかさを持つ完全対称化子の存在を意味するか？
• RQ3 微局所的対称化子の存在は時間反転のもとで不変であるか？ その結果、局所的一意性および特異点の有限速度伝播にどのような意味を持つのか？
• RQ4 非定数の重複度や一般の二重固有値をもつ系に対しても、対称化子の構成を拡張できるか？
• RQ5 記号の強い双曲型性と、正則性が制限された対称化子の存在との間の正確な関係は何か？

主な発見

• 微局所的対称化子 $S(t,x,\tau)$ の $(t,x,\tau)$ におけるリプシッツ連続性が、コーシー問題の $L^2$ としての適切性を十分に保証する。
• 与えられた滑らかさ（例：連続、リプシッツ、$C^\infty$）を持つ対称化子の存在は、同じ滑らかさを持つ完全対称化子の存在と同値である。
• 微局所的対称化子の存在は時間反転のもとで不変であり、これにより特異点の局所的一意性および有限速度伝播が導かれる。
• 一般の二重固有値をもつ系では、強い双曲型性のもとで滑らかな対称化子が存在し、リプシッツ条件は鋭い—非リプシッツ対称化子に対しては反例が存在する。
• スペクトル分解により構成された対称化子 $S(a)$ は、$\mathbf{S}(\tau,a)$ およびスペクトル射影子が連続（リプシッツ、$C^\infty$）であるとき、$a$ に関して連続（リプシッツ、$C^\infty$）である。
• $\mathrm{Re}(\mathbf{S}J u,u) \geq c|u|^2$ という正定性条件が $\ker L(\tau,a)$ 上で成り立つことで、構成された対称化子 $S(a)$ の一様有界性および一様正定性が保証される。