[論文レビュー] L'Algebre Tropicale Comme Algebre De la Caracteristique 1 : Polynomes Rationnels Et Fonctions Polynomiales

D. Castellà|ArXiv.org|Sep 1, 2008

Polynomial and algebraic computation参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特にmax-plus実数を含むトロピカル半体上における多項式関数と有理関数の間の対応関係を確立する。具体的には、定義多項式によって生成されるイデアルによる多項式環の商と、トロピカル超曲面上の多項式関数の代数が同型であることを示す。また、二つのトロピカル多項式が同じ零点集合を持つならば、一方が他方の冪を割り切ることを証明し、古典的代数幾何における双対性をトロピカル設定へと拡張する。

ABSTRACT

We continue, in this second article, the study of the the algebraic tools which play a role in tropical algebra. We especially examine here the polynomial algebras over idempotent semi-fields. this work is motivated by the development of tropical geometry which appears to be the algebraic geometry of tropical algebra. In fact, the most interesting object is the image of a polynomial algebra in its semi-field of fractions. We can thus obtain, over good semi-fields, the analog of classical correpondences between polynomials, and varieties of zeros... For example, we show that the algebras of polynomial functions over a tropical curves associated to a polynomial P, is, as in classical algebraic geometry, the quotient of the polynomial algebra by the ideal generated by P.

研究の動機と目的

• イデムポテンス半体上での多項式代数の研究を通じて、トロピカル幾何のための代数的道具を構築すること。
• トロピカル代数における多項式関数、有理関数、零点集合の間の関係を明確化すること。
• 古典的代数幾何における対応関係（例えばイデアル・多様体双対性）を、トロピカル設定へと拡張すること。
• トロピカル超曲面上の多項式関数の環が、定義多項式によって生成されるイデアルによる多項式環の商と同型であることを示すこと。
• 二つのトロピカル多項式が同じ零点集合を定義するための条件を、冪の可除性によって特徴付けること。

提案手法

• 特にイデムポテンス半体（例：max-plus実数）を含む、特徴1の準環・準体の枠組みを用いる。
• 有理関数を、分数体における同じ像を持つ多項式の同値類として定義する。
• 可換モノイドにおける準逆元および直交性の概念を用いて、代数的設定を構造化する。
• ニュートン多面体におけるグラフ論的議論を用いて、空間の異なる領域における単項式を比較する。
• 点単位の等しい関係を、稠密部分集合上で成り立つものとして拡張し、トロピカル多項式環全体に一般化する密度論的議論を用いる。
• グラフ内のパス長さに関する再帰的議論を用いて、単項式比が有理数乗で有界であることを示し、共通の冪に上げることで可除性が得られることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴1の半体上におけるトロピカル幾何において、古典的代数幾何におけるイデアル・多様体対応をどのように適応できるか？
• RQ2 多項式環がキャンセル不能であることを考慮すると、トロピカル代数における多項式関数を表す適切な代数的対象は何か？
• RQ3 二つのトロピカル多項式が同じ零点集合を定義するための条件は何か？
• RQ4 トロピカル多項式は、その零点集合から、ある冪の意味で再構成可能か？ もしそうなら、その方法は何か？
• RQ5 有理関数は、トロピカル超曲面上の関数的構造をどのように捉えているか？

主な発見

• 多項式 P で定義されるトロピカル超曲面上の多項式関数の環は、P によって生成されるイデアルによる多項式環の商と同型である。
• 二つのトロピカル多項式 P と Q が同じ零点集合を持つならば、Q は P のある冪を割り切る。すなわち、ある k ∈ ℕ に対して Q | P^k が成り立つ。
• P(x) ≠ 0 である P の零点集合に属する任意の x に対して、二つの多項式 A と B がイデアル (P) を法として同じ関数を表すための必要十分条件は、A(x) = B(x) である。
• トロピカル多項式環におけるイデアル (P) のルートは、点 x ∈ V(P) におけるすべての評価核の共通部分に等しい。すなわち、rad(I) = ⋂_{x∈V(P)} Ker(ε_x) が成り立つ。
• 空間の各領域 A_i において、二つの単項式の比は有理数乗で有界に抑えられ、その結果、Q をスケーリングした後、P^k が Q を割り切るような一様な指数 k が存在する。
• この構成により、同じ零点集合を持つ任意の二つの多項式に対して、共通の冪が存在し、その冪において一方が他方を割り切ることが保証される。これは、トロピカル代数におけるヌルスツルムザトの定理の一般化である。