[論文レビュー] L-Borderenergetic graphs

Fernando Tura|arXiv (Cornell University)|May 14, 2016

Graph theory and applications参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ラプラシアンエネルギーが完全グラフ $K_n$ に等しいグラフとして、L-borderenergeticグラフの概念を導入する。グラフの結合とスペクトル解析を用いて、各 $r \geq 1$ に対して、$n = 4r+4$ の順序を持つ $2r+1$ 個のペアワイズ非コスペクトな $L$-borderenergeticグラフの無限族を構成し、境界エネルギー的グラフの概念をラプラシアン行列の文脈へ拡張する。

ABSTRACT

The energy of a graph is defined as the sum the absolute values of the eigenvalues of its adjacency matrix. A graph G on n vertices is said to be borderenergetic if its energy equals the energy of the complete graph Kn. In this paper, we promote this concept for the Laplacian matrix, introduced by Gutman and Zhou [5]. We say G to be L-borderenergetic if LE(G) = LE(Kn). Several classes of L-borderenergetic graphs are obtained including result that for each positive integer r; there are 2r +1 graphs, of order n = 4r + 4; pairwise L-noncospectral and L-bordernergetic graphs.

研究の動機と目的

• 境界エネルギー的グラフ—元々隣接行列エネルギーに基づいて定義されたもの—の概念を、ラプラシアン行列へ拡張するために、$L$-borderenergeticグラフを導入すること。
• 完全グラフ $K_n$ のラプラシアンエネルギーに等しいラプラシアンエネルギーを持つグラフを特徴づけること。
• 直和や結合などのグラフ操作を用いて、$L$-borderenergeticグラフの明示的族を構成すること。
• 同じ順序を持つ複数の非コスペクトな $L$-borderenergeticグラフの存在を示し、同じエネルギークラス内でのスペクトル的多様性を強調すること。

提案手法

• ラプラシアンエネルギー $LE(G) = \sum_{i=1}^n |\mu_i - \overline{d}|$ を定義し、ここで $\mu_i$ はラプラシアン固有値、$\overline{d}$ は平均次数である。
• グラフの結合 $G_1 \nabla G_2$ を用いて、小さな成分から新しいグラフを構成し、結合の既知のスペクトル的性質を活用する。
• 定理1を適用し、成分グラフのスペクトルに基づいて結合のラプラシアン固有値を記述する。
• 補題1を用いて、グラフのラプラシアン固有値とその補グラフの固有値との関係を確立し、特にスペクトルの対称性に注目する。
• 完全グラフと辺のないグラフの直和および結合を用いて、特定のグラフ族 $\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3, \Omega_4$ 及びその組み合わせを構成する。
• LE(G) を計算し、$n = 4r+4$ の場合に $LE(G) = 2n-2 = LE(K_n)$ を確認することで、$L$-borderenergetic性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界エネルギー的グラフの概念は、ラプラシアンエネルギー枠組みへ一般化可能か？
• RQ2 $K_n$ と等しいラプラシアンエネルギーを持つ複数の非コスペクトなグラフは存在するか？
• RQ3 どの無限族のグラフが、$K_n$ のラプラシアンエネルギーと等しいか？
• RQ4 各 $r \geq 1$ に対して、順序 $n = 4r+4$ の非コスペクトな $L$-borderenergeticグラフはいくつ存在するか？
• RQ5 どのようなスペクトル的構成が、$K_n$ と同型でないにもかかわらず $LE(G) = 2n-2$ を達成可能にするか？

主な発見

• 各整数 $r \geq 1$ に対して、順序 $n = 4r+4$ の $2r+1$ 個のペアワイズ $L$-非コスペクトなグラフが存在し、それらは $L$-borderenergeticである。
• 完全グラフ $K_n$ のラプラシアンエネルギーは $2n - 2$ であり、この値は構成されたグラフ族によっても達成される。
• グラフ族 $G_{i,r} = ((2r+1)K_1) \nabla ((2r+1-i)K_1 \cup (K_1 \nabla (i+1)K_1))$（$i = 0,1,\ldots,2r$）により、$n = 4r+4$ の順序を持つ $2r+1$ 個の異なる $L$-borderenergeticグラフが得られる。
• 族 $\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3, \Omega_4$ 及びその組み合わせから構成される各グラフ $G_r$ は、正確に計算されたラプラシアン固有値を有し、$LE(G_r) = LE(K_n)$ を保証する。
• 順序 $n = 4r+4$ の各 $L$-borderenergeticグラフの平均次数 $\overline{d}$ は $2r+3$ であり、エネルギー計算に用いられる。
• すべての構成済みグラフは $K_n$ と $L$-非コスペクトであることが証明され、等しいエネルギーであるにもかかわらずスペクトル的差異が確認された。