[論文レビュー] L-convexity on graph structures

Hiroshi Hirai|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、向き付けられたモジュラー図形上のL-凸関数およびモジュラー半順序集合上の劣微分関数を導入し、整数格子Z^nを超えた離散凸解析の一般化を試みる。Lovász拡張の枠組みを確立し、勾配降下法の鋭い反復回数の上限を証明するとともに、CAT(0)空間およびユークリッドビルディングとの関連を通じて、マルチコムモディティフローおよびマルチウェイカット問題への応用を示す。

ABSTRACT

In this paper, we study classes of discrete convex functions: submodular functions on modular semilattices and L-convex functions on oriented modular graphs. They were introduced by the author in complexity classification of minimum 0-extension problems. We clarify the relationship to other discrete convex functions, such as $k$-submodular functions, skew-bisubmodular functions, L$^ atural$-convex functions, tree submodular functions, and UJ-convex functions. We show that they are actually viewed as submodular/L-convex functions in our sense. We also prove a sharp iteration bound of the steepest descent algorithm for minimizing our L-convex functions. The underlying structures, modular semilattices and oriented modular graphs, have rich connections to projective and polar spaces, Euclidean building, and metric spaces of global nonpositive curvature (CAT(0) spaces). By utilizing these connections, we formulate an analogue of the Lovász extension, introduce well-behaved subclasses of submodular/L-convex functions, and show that these classes can be characterized by the convexity of the Lovász extension. We demonstrate applications of our theory to combinatorial optimization problems that include multicommodity flow, multiway cut, and related labeling problems: these problems have been outside the scope of discrete convex analysis so far.

研究の動機と目的

• 整数格子Z^nを超えて、向き付けられたモジュラー図形やモジュラー半順序集合といったグラフ的構造へ、離散凸解析を拡張すること。
• これらのグラフ的構造におけるL-凸関数および劣微分関数の統一的枠組みを確立し、L♮-凸性および劣微分性を一般化すること。
• マルチコムモディティフローおよびマルチウェイカット問題のような、従来離散凸解析の範囲外であった問題が、今やこの枠組み内で取り扱えることを示すこと。
• L-凸関数に対する勾配降下法（SDA）の反復回数の鋭い上限を証明すること。
• L-凸関数のLovász拡張が凸であることを示し、良好な部分クラスの幾何的特徴付けを提供すること。

提案手法

• 離散中点凸性およびラティス理論的演算を用いて、向き付けられたモジュラー図形上のL-凸関数およびモジュラー半順序集合上の劣微分関数を定義する。
• 木のバリセントリック分割を用いて、図形的構造をユークリッドビルディングに埋め込み、距離的凸性およびCAT(0)空間理論の適用を可能にする。
• 得られた距離空間上でL-凸関数のLovász拡張を構成し、バリセントリック分割の性質を用いてその凸性を証明する。
• Lovász拡張が凸であることと離散中点凸性条件が同値であることの関係を確立し、良好な部分クラスを特徴付ける。
• L-凸関数の最小化に勾配降下法（SDA）を適用し、反復回数が定義域のl∞-直径に依存することを示す。
• 射影的空間および極的空間、非正曲率の距離空間（CAT(0)空間）との関連を活用し、構造的およびアルゴリズム的結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L-凸関数および劣微分関数は、Z^nから向き付けられたモジュラー図形やモジュラー半順序集合といった図形的構造へどのように一般化可能か？
• RQ2 CAT(0)空間およびユークリッドビルディングは、図形上の離散関数のLovász拡張の凸性を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 L-凸関数に対する勾配降下法は、図形上での反復回数の鋭い上限を達成可能か？その依存関係は定義域の幾何構造にどのように依存するか？
• RQ4 k-部分関数、歪双部分関数、UJ-凸関数といった既知の離散凸クラスは、この一般化枠組みにどの程度適合するか？
• RQ5 この理論は、従来離散凸解析の範囲外であった組合せ最適化問題、たとえばマルチコムモディティフローおよびマルチウェイカット問題に応用可能か？

主な発見

• 向き付けられたモジュラー図形上のL-凸関数は、Z^n上のL♮-凸性を一般化する離散中点凸性条件を満たす。
• 向き付けられたモジュラー図形上のL-凸関数のLovász拡張が凸であることは、その関数が離散中点凸性条件を満たすときにかつそのときに限り成り立つ。
• これらの図形上のL-凸関数を最小化する勾配降下法（SDA）は、定義域のl∞-直径Dを用いて、最大O(D)回の反復で終了する。
• モジュラー半順序集合上の劣微分関数および向き付けられたモジュラー図形上のL-凸関数は、k-部分関数や歪双部分関数といった既知のクラスを包含することが示された。
• この理論により、向き付け可能なモジュラー図形上の最小0拡張問題がSDAによって多項式時間で解けることが可能となった。
• マルチコムモディティフローおよびマルチウェイカット問題への応用は、L-凸関数最小化の枠組みへの埋め込みを通じて確立された。