[論文レビュー] L-Dunford-Pettis property in Banach spaces

Abderrahman Retbi, Bouazza El Wahbi|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間におけるL-Dunford-Pettis性質を導入し、双対空間におけるL-Dunford-Pettis集合の相対的弱コンパクト性によって定義される。この性質は、ℓ∞ への弱コンパクト作用素とDunford-Pettis完全連続作用素が一致するための特徴付けを提供し、X が L-Dunford-Pettis性質を持つことと、W(X,ℓ∞) が DPcc(X,ℓ∞) に補完可能であることは同値であることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study the concept of L-Dunford-Pettis sets and L-Dunford-Pettis property in Banach spaces. Next, we give a characterization of the L-Dunford-Pettis property with respect to some well-known geometric properties of Banach spaces. Finally, some complementability of operators on Banach spaces with the L-Dunford-Pettis property are also investigated

研究の動機と目的

• バナッハ空間の双対空間におけるL-Dunford-Pettis集合の概念を導入し、研究すること。
• L-Dunford-Pettis性質を、双対空間におけるすべてのL-Dunford-Pettis集合が相対的に弱コンパクトであるという条件として定義すること。
• 特にDPccおよび弱コンパクト作用素のクラスに関して、L-Dunford-Pettis性質を特徴付けること。
• X から ℓ∞ への弱コンパクト作用素のクラスがDPcc作用素のクラスに補完可能である条件を調査すること。
• バナッハ空間の幾何学的および作用素論的性質を用いて、L-Dunford-Pettis性質の同値な特徴付けを確立すること。

提案手法

• X′ に含まれる集合 A ⊂ X′ を、X における任意の弱ゼロ列 (xn) がDunford-Pettis集合であるとき、A 上で一様にゼロに収束するような、ノルム有界集合としてL-Dunford-Pettis集合と定義する。
• X′ における任意のL集合はL-Dunford-Pettis集合であり、X′ の相対的弱コンパクト部分集合もL-Dunford-Pettis集合であることを証明する。
• DPcc作用素のDP集合上の一様収束による特徴付けを用いて、L-Dunford-Pettis性質と作用素クラスの関係を関連付ける。
• ℓ∞ におけるゼロ列に関する補題2.12を適用して、ℓ∞ への作用素の構造とその補完可能性を分析する。
• X′ における弱収束しない列を用いて作用素 S: X → ℓ∞ を反例として構成し、L-Dunford-Pettis性質が成立しない場合の非補完可能性を示す。
• 制限写像と随伴作用素を用いて、DPcc(X,ℓ∞) の構造と W(X,ℓ∞) の構造を関連付け、補題2.14における同値性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間の双対空間におけるすべてのL-Dunford-Pettis集合が相対的に弱コンパクトであるのはいつか？
• RQ2 L-Dunford-Pettis性質はDunford-Pettis性質およびGrothendieck性質とどのように関係するか？
• RQ3 X から ℓ∞ への弱コンパクト作用素の空間がDPcc作用素の空間に補完可能となる条件は何か？
• RQ4 可分な部分空間および列は、L-Dunford-Pettis性質の特徴付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 W(X,ℓ∞) と DPcc(X,ℓ∞) のクラスが一致するのはいつか？

主な発見

• バナッハ空間 X が L-Dunford-Pettis性質を持つことと、X′ におけるすべてのL-Dunford-Pettis集合が相対的に弱コンパクトであることは同値である。
• L-Dunford-Pettis性質は、Y = ℓ∞ のとき、すべてのDPcc作用素 T: X → Y が弱コンパクトであることと同値である。
• X が L-Dunford-Pettis性質を持たない場合、W(X,ℓ∞) は DPcc(X,ℓ∞) に補完可能でない。
• W(X,ℓ∞) が DPcc(X,ℓ∞) に補完可能であることと、X が L-Dunford-Pettis性質を持つことは同値である。
• L-Dunford-Pettis性質は、すべてのℓ∞ への弱コンパクト作用素がDPccであること、および逆にこの性質のもとで同様に成り立つことを示唆する。
• L-Dunford-Pettis性質は、DPrcP を持つバナッハ空間および反射的空間を作用素クラスを用いて新たな特徴付けを提供する。