[論文レビュー] L\\^e-Greuel type formula for the Euler obstruction and applications

Nicolas Dutertre, Nivaldo G. Grulha|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、特異な複素解析的空間上の関数のオイラー付随性のための Lê-Greuel 型の公式を確立し、特異的状況へのミルナー数の一般化を図るための Brasselet 数 $\mathrm{B}_{f,X}(0) = \mathrm{Eu}_X(0) - \mathrm{Eu}_{f,X}(0)$ を導入した。微分幾何的道具であるチャーン＝ウェイの形式とケーラー幾何を用いて、極小多様体と交線理論を通じて、ケネディのガウス・ボンネ公式を特異的多様体へと拡張する積分公式を導出する。

ABSTRACT

The Euler obstruction of a function can be viewed as a generalization of the Milnor number for functions defined on singular spaces. In this work, using the Euler obstruction of a function, we give a version of the L\\^e-Greuel formula for two germs of analytic functions with isolated singularity at the origin on a singular space. Using this formula and results of Loeser, we also present an integral formula for the Euler obstruction of a function, generalizing a formula of Kennedy.

研究の動機と目的

• 関数が特異的複素解析的空間上に存在する場合のミルナー数のための Lê-Greuel 公式を一般化すること。
• 孤立特異点を持つ関数のためのオイラー付随性の一般化として、Brasselet 数 $\mathrm{B}_{f,X}(0)$ を定義し、その性質を考察すること。
• 滑らかな空間に対しては既知であったミルナー数のための積分公式を、微分幾何的道具（チャーン＝ウェイ形式）と交線多重度を用いて、特異的多様体へと拡張すること。
• 極小多様体と局所不変量を用いて、特異的空間上のミルナー・ファイバーのオイラー特性のためのガウス・ボンネ型の公式を確立すること。

提案手法

• 局所オイラー付随性 $\mathrm{Eu}_X(0)$ と関数のオイラー付随性 $\mathrm{Eu}_{f,X}(0)$ の差として、Brasselet 数 $\mathrm{B}_{f,X}(0)$ を導入する。
• 特異的空間上の交線理論を用いて、$\mathrm{B}_{f,X}(0)$ を極小集合 $\Gamma^q_{f,g}$ と $X^f$ の交線多重度 $I_{X,0}(X^f, \overline{\Gamma^q_{f,g}})$ と関連付ける。
• Loeser の極小多重度のための積分公式を適用し、$I_{X\cap H^i,0}(\Gamma^i_f, X^f \cap H^i)$ をチャーン＝ウェイ形式 $c^{w}_{d-1-i}(T_f)$ とケーラー形式 $\omega$ を用いて表現する。
• 一般化された積分公式を導出する：$\mathrm{B}_{f,X}(0) = \lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\int_{X_{\text{reg}}\cap f^{-1}(\delta)\cap B_\varepsilon} \sum_{i=0}^{d-1} c^{w}_{d-1-i}(T_f) \wedge \omega^i$。
• 一般の線形部分空間のフラッグ $H^i$ を用いて、問題を低余次元における Lê-Greuel 公式の繰り返し適用に還元する。
• 既知の結果が特殊ケースとして回復されることを示す：$X = \mathbb{C}^N$ のとき、公式はテイシエの補題およびケネディの積分公式に帰着する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミルナー数のための Lê-Greuel 公式を、特異的複素解析的空間上の関数へと一般化することは可能か？
• RQ2 特異的空間上に孤立特異点を持つ関数に対して、ミルナー数の適切な一般化とは何か？
• RQ3 チャーン＝ウェイ形式のような微分幾何的道具を用いて、特異的空間上に定義された関数のオイラー付随性のための積分公式を導出できるか？
• RQ4 極小多様体と交線多重度は、特異的状況下でのオイラー付随性とどのように関係するか？
• RQ5 特異的空間上におけるミルナー・ファイバーのオイラー特性のためのガウス・ボンネ型の公式を確立できるか？

主な発見

• Brasselet 数 $\mathrm{B}_{f,X}(0)$ は $\mathrm{Eu}_X(0) - \mathrm{Eu}_{f,X}(0)$ として定義され、特異的空間上に定義された関数のオイラー付随性の一般化を提供する。
• Lê-Greuel 型の公式が確立された：$\mathrm{B}_{f,X}(0) - \mathrm{B}_{f,X^g}(0) = (-1)^d I_{X,0}(X^f, \overline{\Gamma^q_{f,g}})$、ここで $\Gamma^q_{f,g}$ は対 $(f,g)$ の極小集合である。
• 積分公式が導出された：$\mathrm{B}_{f,X}(0) = \lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\int_{X_{\text{reg}}\cap f^{-1}(\delta)\cap B_\varepsilon} \sum_{i=0}^{d-1} c^{w}_{d-1-i}(T_f) \wedge \omega^i$。
• $X = \mathbb{C}^N$ のとき、この公式はテイシエの補題およびケネディの積分公式を再現する。
• この公式は $X$ のストラトゥム $V_k$ へと一般化可能であり、$\mathrm{B}_{f,\overline{V_k}}(0) = \lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\int_{V_k\cap f^{-1}(\delta)\cap B_\varepsilon} \sum_{i=0}^{d_k-1} c^{w}_{d_k-1-i}(T_f) \wedge \omega^i$ を得る。
• ミルナー・ファイバー $f^{-1}(\delta)\cap X\cap B_\varepsilon$ のオイラー特性のためのガウス・ボンネ型の公式が得られた：$\chi(f^{-1}(\delta)\cap X\cap B_\varepsilon) = \sum_{k=1}^q (1 - \chi(\mathrm{lk}^\mathbb{C}(V_k,X))) \cdot \lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\int_{V_k\cap f^{-1}(\delta)\cap B_\varepsilon} \sum_{i=0}^{d_k-1} c^{w}_{d_k-1-i}(T_f) \wedge \omega^i$。