[論文レビュー] L\\'evy processes with marked jumps II : Application to a population model with mutations at birth

Cécile Delaporte|arXiv (Cornell University)|May 28, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、出生時に変異を伴う集団モデルの漸近的系統を、マーク付きレヴィ過程と可視的理論を用いて研究する。マーク付き共通祖先点過程（系統の共通祖先化と変異時刻を符号化）の収束を、スペクトラルに正のレヴィ過程のランダム高さ過程を用いて特徴づけた多変量ポアソン点過程へと示し、希少変異の状況下での明示的極限を提示する。

ABSTRACT

Consider a population where individuals give birth at constant rate during their lifetimes to i.i.d. copies of themselves. Individuals bear clonally inherited types, but (neutral) mutations may happen at the birth events. The smallest subtree containing the genealogy of all the extant individuals at a fixed time \ au, is called the coalescent point process. We enrich this process with the history of the mutations that appeared over time, and call it the marked coalescent point process. With the help of limit theorems for L\\'evy processes with marked jumps established in a previous work (arXiv:1305.6245), we prove the convergence of the marked coalescent point process with large population size and two possible regimes for the mutations - one of them being a classical rare mutation regime, towards a multivariate Poisson point process. This Poisson point process can be described as the coalescent point process of the limiting population at \ au, with mutations arising as inhomogeneous regenerative sets along the lineages. Its intensity measure is further characterized thanks to the excursion theory for spectrally positive L\\'evy processes. In the rare mutations asymptotic, mutations arise as the image of a Poisson process by the ladder height process of a L\\'evy process with infinite variation, and in the particular case of the critical branching process with exponential lifetimes, the limiting object is the Poisson point process of the depths of excursions of the Brownian motion, with Poissonian mutations on the lineages.

研究の動機と目的

• 出生時の変異を伴う集団の系統的構造を分析し、系統の共通祖先化と変異歴の共同ダイナミクスに焦点を当てる。
• 共通祖先点過程の枠組みを拡張し、変異を表すマーク付きジャンプを含め、大規模集団におけるアレル的分割の研究を可能にする。
• 大規模集団サイズのスケーリング下でのマーク付き分割木に対する極限定理を確立するが、特に中立的変異の文脈を想定する。
• スペクトラルに正のレヴィ過程の可視的理論を用いて、系統に沿った変異イベントの極限分布を特徴づける。
• 一般の変異強度と希少変異の二つの状況で、明示的な収束結果を導出し、臨界的分岐状況におけるブラウン運動の可視的過程との関連を示す。

提案手法

• 出生時刻と寿命の分布を用いて、各出生イベントが 0（クローン）または 1（変異体）にマークされたマーク付き分割木として集団をモデル化し、出生時刻と寿命の強度測度を $\text{d}t \cdot \Lambda(\text{d}r)$ とするポアソン過程を用いる。
• 固定時刻 $\tau$ における $n$ 番目の集団の各系統に起因する共通祖先時刻と変異時刻を符号化するランダム点測度として、マーク付き共通祖先点過程 $\Sigma_n$ を定義する。
• 木構造を符号化するためジャンピング・クロノロジカル・コンター過程（JCCP）を用い、$\tau$ 以下に反射され、0 で停止する有限変動のスペクトラルに正のレヴィ過程へ収束することを示す。
• 先行研究 [8] におけるマーク付きジャンプを伴うレヴィ過程の極限定理を適用し、$\Sigma_n$ のラプラス関数の収束を、多変量ポアソン点過程のラプラス関数へと示す。
• 極限ポアソン過程の強度測度を、特にレヴィ過程のランダム高さ過程を用いて可視的理論により特徴づける。
• 希少変異状況では、変異がレヴィ過程のランダム高さ過程を介してポアソン過程の像として生じることを示し、指数寿命を持つ臨界的分岐状況ではブラウン運動の可視的過程の深さと明示的につながることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集団サイズが大きくなる極限において、出生時に変異を伴う集団の系統的構造はどのように振る舞うか？
• RQ2 系統の共通祖先化と変異イベントを符号化するマーク付き共通祖先点過程の極限分布は何か？
• RQ3 特に希少変異状況において、系統に沿った変異ダイナミクスはどのように極限に現れるか？
• RQ4 スペクトラルに正のレヴィ過程の可視的理論を用いて、極限ポアソン点過程の強度測度を特徴づけられるか？
• RQ5 臨界的分岐過程で指数寿命をとる場合、極限の変異過程とブラウン運動の可視的過程との間にどのような関係があるか？

主な発見

• 集団サイズ $I_n \to \infty$ の極限において、マーク付き共通祖先点過程 $\Sigma_n$ は分布収束して多変量ポアソン点過程へ収束する。
• 希少変異状況では、極限の変異過程は、無限変動を有するレヴィ過程のランダム高さ過程を介してポアソン過程の像として分布する。
• 指数寿命を持つ臨界的分岐過程では、極限の対象はブラウン運動の可視的過程の深さのポアソン点過程となり、変異は系統に沿ってポアソン的マークとして現れる。
• 極限ポアソン過程の強度測度は、可視的理論を用いて特徴づけられ、特に基礎となるスペクトラルに正のレヴィ過程の可視的局所時刻とランダム高さ過程を介して記述される。
• 収束は、ラプラス関数の弱収束を根拠とし、スケーリングされたマルコフ連鎖の一様収束とドミネートド収束の議論に依存する。
• 寿命測度 $\Lambda$ に対してやや弱いモーメント条件が成立する限り、収束は成り立ち、初期集団サイズの選択に依存せず、集団サイズが大きくなる限りロバストである。