[論文レビュー] L-Graphs and Monotone L-Graphs

Reyan Ahmed, Felice De Luca+7 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非ジャンプ性グラフと呼ばれるグラフのクラスを導入し、L-セグメントのコーナーが一直線上に位置するような単調L埋め込みが存在するための必要十分条件を示している。その結果、単調Lグラフが完全に特徴づけられ、外平面的、凸二部グラフ、区間グラフ、3-リーフパワー、完全グラフはすべて非ジャンプ性グラフの部分クラスであることが示された。一方、距離遺伝的およびk-リーフパワー（k ≤ 4）グラフは一般L埋め込みを有する。

ABSTRACT

In an $\mathsf{L}$-embedding of a graph, each vertex is represented by an $\mathsf{L}$-segment, and two segments intersect each other if and only if the corresponding vertices are adjacent in the graph. If the corner of each $\mathsf{L}$-segment in an $\mathsf{L}$-embedding lies on a straight line, we call it a monotone $\mathsf{L}$-embedding. In this paper we give a full characterization of monotone $\mathsf{L}$-embeddings by introducing a new class of graphs which we call "non-jumping" graphs. We show that a graph admits a monotone $\mathsf{L}$-embedding if and only if the graph is a non-jumping graph. Further, we show that outerplanar graphs, convex bipartite graphs, interval graphs, 3-leaf power graphs, and complete graphs are subclasses of non-jumping graphs. Finally, we show that distance-hereditary graphs and $k$-leaf power graphs ($k\le 4$) admit $\mathsf{L}$-embeddings.

研究の動機と目的

• L-セグメントのコーナーが共通の直線上に位置する単調L埋め込みを許容するグラフのクラスを特徴づけること。
• 単調L埋め込みの構造的制約を捉える新しいグラフクラス「非ジャンプ性グラフ」を定義し、その解析を行うこと。
• 外平面的および区間グラフを含む、いくつかの重要なグラフ族が非ジャンプ性グラフの部分クラスであることを確立すること。
• 距離遺伝的およびk-リーフパワー（k ≤ 4）グラフにL埋め込みが存在するかを調査すること。

提案手法

• Lセグメントを水平線分と垂直線分がL字に結合した形状として定義し、頂点の隣接関係がセグメントの交差に対応するL埋め込みを定義する。
• すべてのLセグメントのコーナーが共通の直線上に位置する単調L埋め込みを定義し、頂点の線形順序による条件を用いて非ジャンプ性グラフの概念を導入する。
• 右方向、上方向、下方向、左方向の幾何的拡張操作を用い、交差を保ちつつ頂点の追加に伴う有効なL埋め込みを構築する。
• 垂れ下がる頂点の追加、真のツイン、偽のツインの操作を適用してL埋め込みを段階的に構築し、これらの操作における閉包性を証明する。
• 距離遺伝的グラフなど既知のグラフ構成列を用い、帰納的構成によりL埋め込みの存在を証明する。
• 構造的グラフ理論と幾何的制約を用い、k-リーフパワー（k ≤ 4）グラフが、ケース解析と埋め込み構成によりL埋め込みを有することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのLセグメントのコーナーが共通の直線上に位置する単調L埋め込みを許容するグラフはどれか？
• RQ2 このような単調L埋め込みを許容するグラフの組合せ的特徴づけは何か？
• RQ3 距離遺伝的グラフおよびk-リーフパワー（k ≤ 4）グラフはLグラフか？
• RQ4 非ジャンプ性グラフのクラスは、単調Lグラフの完全な特徴づけか？
• RQ5 非ジャンプ性グラフの認識の計算量的複雑度は何か？

主な発見

• グラフが単調L埋め込みを許容するための必要十分条件は、それが非ジャンプ性グラフであることである。これにより、完全な組合せ的特徴づけが得られた。
• 外平面的グラフ、凸二部グラフ、区間グラフ、3-リーフパワー、完全グラフはすべて非ジャンプ性グラフの部分クラスである。
• 距離遺伝的グラフはL埋め込みを有する。これは、垂れ下がる頂点の追加およびツイン操作の列により構成可能であり、L埋め込み性が保たれるからである。
• すべての4-リーフパワーのグラフはL埋め込みを有する。これは付録におけるケース解析と埋め込み構成により証明された。
• 非ジャンプ性グラフのクラスは、垂れ下がる頂点の追加、真のツイン、偽のツインの操作に関して閉じており、単調L埋め込みの帰納的構築が可能である。
• 非ジャンプ性グラフの認識がNP困難である可能性が示唆されるが、これは未解決の問題のままである。