[論文レビュー] L-groups and parameters for covering groups

Martin H. Weissman|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Brylinski-Deligne拡張からの不変量 Q、D、f を用いて、局所および大域体上の擬分裂再帰的群の n 次被覆群に対して L 群を定義することにより、ラングランズプログラムを被覆群へ拡張する。非可換 L 群はメタガロア群とエタール層の上のゲルベを用いて構成され、真の既約表現のパrameter化を可能にする。

ABSTRACT

We incorporate covers of quasisplit reductive groups into the Langlands program, defining an L-group associated to such a cover. We work with all covers that arise from extensions of quasisplit reductive groups by $\mathbf{K}_2$ -- the class studied by Brylinski and Deligne. We use this L-group to parameterize genuine irreducible representations in many contexts, including covers of split tori, unramified representations, and discrete series for double covers of semisimple groups over $\mathbb R$. An appendix surveys torsors and gerbes on the étale site, as they are used in the construction of the L-group.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、擬分裂再帰的群の被覆をラングランズプログラムに統合することにある。
• 被覆群、特に K2-拡張から生じる被覆群に対して体系的な L 群の構成が欠落しているという問題に取り組む。
• 局所的、大域的、算術的文脈において真の既約表現をパrameter化する L 群を定義することを目的とする。
• ゲルベと torsor を用いて、表現論的構成をガロア論的およびコhomology的道具と統合することを目的とする。
• 本研究は、メタプレクティック設定における L 関数およびウェイルパラメータのフレームワークを提供する。

提案手法

• L 群 L˜G を、GalF への ˜G∨ の拡張 ˜G∨ → L˜G → GalF の形で構成する。ここで ˜G∨ はピン留められた複素再帰的群である。
• Brylinski-Deligne理論からの3つの不変量を用いる：Galois不変な二次形式 Q、コキャラクター格子の中心的拡張 D、および高次不変量 f。
• ヒルベルト記号を用いて、µ2 → gGalF → GalF の形の標準的 2-コサイクル拡張としてメタガロア群を導入する。
• エタール層 F´et 上にゲルベ Eǫ(˜G) を定義し、L 群構成における第二のねじれとして機能させる。
• Baer和を用いて、メタガロア拡張とゲルベの基本群を組み合わせ、L 群の拡張を構成する。
• L 群を用いて、Weil パラメータ WF → L˜G による ǫ-真の表現のパrameter化を行い、˜G∨-作用による軌道を考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K2-拡張から生じる擬分裂再帰的群の被覆群に対して、ラングランズプログラムをどのように拡張できるか。
• RQ2 このような被覆群に対する L 群の正しい一般化は何か。また、古典的ラングランズ L 群とはどのように異なるか。
• RQ3 この拡張された L 群を用いて、真の既約表現をどのようにパrameter化できるか。
• RQ4 ゲルベと torsor は、被覆群の L 群を構成する際に果たす役割は何か。
• RQ5 L 群は、レヴィ部分群への制限および局所体と大域体との間の移行において、どのように振る舞うか。

主な発見

• L 群 L˜G は、F´et 上のゲルベの基本群とメタガロア群を用いて、拡張 ˜G∨ → L˜G → GalF の形で構成される。
• 「よく整合された」準同型に関して関手的であり、レヴィ部分群やグローバル・ローカル制限を尊重する。
• L 群は、Weil パラメータ WF → L˜G の ˜G∨-軌道を用いて ǫ-真の既約表現をパrameter化する。
• ス latter トーラスに対して、Weil パラメータによるパrameter化はデリーニの構成と一致し、メタプレクティックの場合に古典的局所ラングランズ対応を回復する。
• ス latter トーラスの場合に、L 群の構成は [GG14] の E1 + E2 法と一致するが、ス latter 再帰的群ではまだ検証されていない。
• 本稿は、特に非分岐および離散系列表現に対して、メタプレクティック設定における L 関数および自動形式的 L 関数の体系的フレームワークを提供する。