[論文レビュー] L'identité algébrique d'une pratique portée par la discussion sur l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes (1766-1874)

Frédéric Brechenmacher|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2007

History and Theory of Mathematics参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1766年から1874年までの世俗的不等式方程式を観点として、ラグランジュ、ラプラス、ヴァイエルシュトラスが代数的技法に与えた影響を分析し、この時代の代数的実践の歴史的発展を検討する。その結果、この時代の代数は形式的理論ではなく、惑星運動の不等式を解くことに根ざした動的な、アイデンティティに満ちた実践であったことが明らかになった。1874年のクロネッカー＝ジョルダン論争は、現代の代数的価値観を crystallize する出来事であった。

ABSTRACT

What did "algebra" mean before the development of the algebraic theories of the 20th century ? This paper stresses the identities taken by the algebraic practices developped during the century long discussion around the equation around the equation of secular inequalities (1766- 1874). In 1874, a strong controversy on the theory of bilinear and quadratic forms opposed Camille Jordan and Leopold Kronecker. The arithmetical ideal of Kronecker faced Jordan's claim for the simplicity of his algebraic canonical form. As the controversy combined mathematical and historical arguments, it gave rise to the writing of a history of the methods used by Lagrange, Laplace and Weierstrass in a century long mathematical discussion around the "equation of secular inequalities".

研究の動機と目的

• 20世紀の抽象代数学の形式的理論が登場する以前の時代における「代数」という語が何を意味していたかを理解すること。
• 世俗的不等式方程式が代数的実践を形作る中心的な数学的対象として果たした役割を分析すること。
• ラグランジュとラプラスからヴァイエルシュトラスに至るまでの代数的技法の進化をたどり、後の形式的代数学に与えた影響を明らかにすること。
• 1874年のクロネッカーとジョルダンの論争が、算術的厳密性と単純さという対立する価値観を通じて代数のアイデンティティをどのように再定義したかを調査すること。
• アーカイブ資料と概念的分析を通じて、代数的標準形の歴史的・数学的基盤を再構築すること。

提案手法

• 1766年から1874年までの原典資料を分析し、ラグランジュ、ラプラス、ヴァイエルシュトラスによる惑星運動および世俗的不等式に関する著作を対象とする。
• 複数世代にわたる数学者たちが世俗的不等式方程式を解くために用いた代数的技法の変容をたどる。
• 1874年のクロネッカーとジョルダンの論争を、クロネッカーの算術的厳密性の理想とジョルダンの代数的単純性および標準形の重視という、対立する価値観を通じて、代数的アイデンティティを定義づける転換点として分析する。
• 歴史的・哲学的分析を用いて、数学的実践が形式化以前の代数の概念的アイデンティティをどのように形作ったかを解釈する。
• 天体力学におけるこれらの技法の使用を結びつけることで、代数的技法のルーツをたどり、現代代数的構造の出現を再構築する。
• 主要な人物たちの認識論的および方法論的枠組みを比較し、何が「代数的実践」としての特徴を持つかの変化を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 20世紀の抽象代数学の形式的発展以前に、数学的実践における「代数」という語が何を意味していたのか。
• RQ2 世俗的不等式方程式が天体力学における代数的技法の発展をどのように促進したか。
• RQ3 1874年のクロネッカーとジョルダンの論争が、代数のアイデンティティに潜むより深い対立をどのように反映していたか。
• RQ4 ラグランジュ、ラプラス、ヴァイエルシュトラスの手法が代数的推論の進化にどのように寄与したか。
• RQ5 歴史的ナラティブが、クロネッカー＝ジョルダン論争の際の数学的主張をどのように形作っていたか。

主な発見

• 18世紀および19世紀の代数は、形式的理論ではなく、特に惑星運動における世俗的不等式方程式を解くことに根ざした実践であった。
• 世俗的不等式方程式は、複数世代にわたる数学者たちが開発した代数的技法の発展を形作る中心的な数学的対象であった。
• 1874年のクロネッカーとジョルダンの論争は、根本的な認識論的分岐を示した：クロネッカーの算術的厳密性の理想とジョルダンの代数的単純性および標準形の重視という対立する価値観の対比である。
• クロネッカー＝ジョルダン論争の際の歴史的ナラティブは偶然的ではなく、数学的主張の根拠として中心的な役割を果たしており、歴史が代数的アイデンティティを正当化するためにどのように利用されたかを示している。
• 本稿は、代数のアイデンティティが、抽象的公理化ではなく、天体力学との実践的関与を通じて進化したことを示している。
• 査読および編集による改訂を経た最終版論文は、初期のプレプリントと比較して、特に歴史的・概念的フレーミングにおいて大幅に拡張・洗練されている。