[論文レビュー] L-infinity Formality check for the Hochschild Complex of Certain Universal Enveloping Algebras

Martin Bordemann, Olivier Elchinger+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特定のリー代数（例：$$\mathfrak{so}(3)$$）の普遍包あらゆる代数のホッホシュタイン複体における $L_\infty$-形式性を検討する。特に、カルタン-3-正則な二次的リー代数（例：$$\mathfrak{so}(3)$$）および自由リー代数を含む。特徴的3次クラスの障害とホモトピー移行を用いて、これらの状況では形式性が成立しないことを示すが、3次の非自明な $d_3$ ブラケットを明示的に計算することにより、$L_\infty$-準同型が回復されることを示す。

ABSTRACT

We study the L-infinity-formality problem for the Hochschild complex of the universal enveloping algebra of some examples of Lie algebras such as Cartan-3-regular quadratic Lie algebras (for example semisimple Lie algebras and in more detail so(3)), and free Lie algebras generated by a vector space of dimension at least 2. We show that for these examples formality in Kontsevich's sense does NOT hold, although some of them allow unconditioned deformability. We compute the L-infinity-structure on the cohomology given by homotopy transfer in certain cases.

研究の動機と目的

• 特定のリー代数の普遍包あらゆる代数のホッホシュタイン複体が、コンツェビッチの意味で $L_\infty$-形式性を有するかどうかを同定すること。
• 次数付きシェバレーヴ-エイレンベルクコホモロジーにおける特徴的3次クラス $c_3$ を用いて、$L_\infty$-形式性の障害を調査すること。
• 形式性が失敗した場合に、ホモトピー移行を用いてコホモロジー上での高次 $L_\infty$ ブラケットを計算すること。
• 特に $$\mathfrak{so}(3)$$ および自由リー代数の非形式的状況において、$L_\infty$-準同型を回復するための $d_3$ ブラケットを明示的に構成すること。

提案手法

• ホッホシュタインコホモロジー次数付きリー代数の次数付きシェバレーヴ-エイレンベルクコホモロジーにおける特徴的3次クラス $c_3$ を、$L_\infty$-形式性の主な障害として用いる。
• コンツェビッチの形式性写像を用いて、$U(\mathfrak{g})$ のホッホシュタイン複体を $\mathfrak{g}$ のシューアテン複体（値は $\mathcal{S}\mathfrak{g}$ にとる）と関連付ける。
• 二次的リー代数の場合、シューアテンブラケットを用いて、2次的Casimirとカルタン3次コチェインのブラケットを計算し、$c_3$ を評価する。
• 自由リー代数の場合、同型 $U(\mathfrak{f}(V)) \cong \mathcal{T}^\bullet V$ を利用し、導分の空間における内部導分への補完を計算する。
• 形式性が失敗した場合に、コホモロジー上での高次ブラケットを再構成するために、ホモトピー摂動補題の $L_\infty$-形を用いる。
• 特に $$\mathfrak{so}(3)$$ および自由リー代数の両ケースにおいて、$L_\infty$-準同型を回復する3次の明示的 $d_3$ ブラケットを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル的再帰的リー代数の普遍包あらゆる代数のホッホシュタイン複体は、$L_\infty$-形式性を有するか？
• RQ2 $\mathfrak{so}(3)$ および自由リー代数における $L_\infty$-形式性の障害の性質は何か？
• RQ3 非形式的状況において、1つの高次ブラケット $d_3$ を加えることで $L_\infty$-準同型を回復できるか？
• RQ4 特徴的3次クラス $c_3$ は、$U(\mathfrak{g})$ のホッホシュタイン複体における形式性の失敗をどのように検出するか？
• RQ5 $\mathfrak{so}(3)$ および自由リー代数の両ケースにおいて、$L_\infty$-準同型を回復する $d_3$ ブラケットの明示的構造は何か？

主な発見

• 非アーベル的再帰的リー代数（特に $$\mathfrak{so}(3)$$ を含む）の普遍包あらゆる代数のホッホシュタイン複体は、$L_\infty$-形式的でない。
• 形式性の失敗は、ホッホシュタインコホモロジー次数付きリー代数の次数付きシェバレーヴ-エイレンベルクコホモロジーにおける非自明な特徴的3次クラス $c_3$ によって障害を受ける。
• $\mathfrak{so}(3)$ の場合、3次の明示的 $d_3$ ブラケットを加えることで $L_\infty$-準同型が回復される。
• 次元 $\geq 2$ のベクトル空間によって生成される自由リー代数に対しても、形式性は失敗するが、同様に1つの $d_3$ ブラケットを加えることで $L_\infty$-準同型が回復される。
• 形式性が欠如しているにもかかわらず、これらの結合代数の変形問題は常に可解である。これは、その剛性ゆえであり、積分可能性には形式性が必須でないことを示している。
• 自由代数の場合の導分および内部導分の構造を用い、ホモトピー移行を経て、両ケースにおいて $d_3$ ブラケットを明示的に計算した。