[論文レビュー] $L^\infty$- and $W^{1,\infty}$-error estimates of linear finite element method for Neumann boundary value problems in a smooth domain

Takahito Kashiwabara, Tomoya Kemmochi|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかな領域における2階楕円型ノイマン問題に線形有限要素法を適用した場合の、点ごとの誤差推定値が最適であることを確立している。これは、多面体近似に起因する領域の摂動を考慮した上で、正則化されたグリーン関数と二重円環における局所的 $H^1$-および $L^2$-推定値を組み合わせることで達成されている。非適合性（境界近似に起因）にもかかわらず、$L^\infty$-ノルムでは $O(h^2|\text{log}~h|)$、$W^{1,\infty}$-ノルムでは $O(h)$ の収束率が示されている。

ABSTRACT

Pointwise error analysis of the linear finite element approximation for $-Δu + u = f$ in $Ω$, $\partial_n u = τ$ on $\partialΩ$, where $Ω$ is a bounded smooth domain in $\mathbb R^N$, is presented. We establish $O(h^2|\log h|)$ and $O(h)$ error bounds in the $L^\infty$- and $W^{1,\infty}$-norms respectively, by adopting the technique of regularized Green's functions combined with local $H^1$- and $L^2$-estimates in dyadic annuli. Since the computational domain $Ω_h$ is only polyhedral, one has to take into account non-conformity of the approximation caused by the discrepancy $Ω_h eq Ω$. In particular, the so-called Galerkin orthogonality relation, utilized three times in the proof, does not exactly hold and involves domain perturbation terms (or boundary-skin terms), which need to be addressed carefully. A numerical example is provided to confirm the theoretical result.

研究の動機と目的

• 滑らかな領域におけるノイマン境界条件付き線形有限要素法の点ごとの誤差推定値を提供すること。
• 多面体領域近似 ($\Omega_h \neq \Omega$) や境界不一致 ($\Gamma_h \neq \Gamma$) に起因する非適合性の課題に対処すること。
• 標準的な $L^\infty$ および $W^{1,\infty}$ 誤差解析を、領域摂動下でのノイマン問題に拡張すること。
• 領域差異に起因するガラーキン直交性の破綻にもかかわらず、最適な収束率を確立すること。
• 理論的結果を数値例により検証し、導出された誤差境界が正当化されることを確認すること。

提案手法

• グリーン関数の近似の $W^{1,1}$-誤差推定値に帰着させるために、正則化されたグリーン関数を用いる。
• 関心点を中心とする二重円環 $A_j$ への領域の二重分割を用い、局所的誤差制御を可能にする。
• 各円環内での局所的 $H^1$-および $L^2$-推定値を適用し、正則化されたグリーン関数近似の誤差を評価する。
• 領域摂動に起因する項（境界スキン効果）を、重み付きノルムにおける寄与を慎重に評価することで取り扱う。
• 非適合性を補正するための補正項を含むガラーキン直交性関係を用い、安定性と収束性を保証する。
• スケーリングのヒューリスティクスと二重分割を用いて、グリーン関数の誤差の勾配の $L^1$-ノルムに対する鋭い上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算領域が多面体である場合、滑らかな領域におけるノイマン問題に対する線形有限要素法の最適な点ごとの収束率は何か？
• RQ2 境界近似に起因する領域摂動は、有限要素法における $L^\infty$ および $W^{1,\infty}$ 誤差推定値にどのように影響するか？
• RQ3 正則化されたグリーン関数と二重円環を効果的に組み合わせることで、非適合性下でも鋭い $L^\infty$ および $W^{1,\infty}$ 誤差境界を導出できるか？
• RQ4 領域 $\Omega_h \neq \Omega$ および境界 $\Gamma_h \neq \Gamma$ の下で、境界スキン項が誤差解析において果たす役割は何か？
• RQ5 導出された誤差推定値は、適合ケースの標準的結果と比較してどうなるか？また、$L^\infty$-誤差における対数因子の影響は何か？

主な発見

• 本稿は、ノイマン問題の線形有限要素解について、$L^\infty$-ノルムにおける $O(h^2|\text{log}~h|)$ の誤差境界を確立している。
• $W^{1,\infty}$-ノルムにおいて $O(h)$ の誤差境界が証明されており、これは滑らかな解に対して最適な収束率に一致する。
• 領域近似に起因する非適合性にもかかわらず、$\Omega_h \neq \Omega$ に起因する境界スキン項を丁寧に取り扱うことで収束率が達成されている。
• 特異点近傍の点ごとの誤差を制御するため、正則化されたグリーン関数と二重円環における局所的推定値に依拠している。
• 補足事項により、境界スキン層の寄与が $\delta = C_0 E h^2$ で制御され、勾配の $L^1$-ノルムが適切に減少することが確認されている。
• 数値例により理論的収束率が検証され、導出された誤差推定値の妥当性が裏付けられている。