[論文レビュー] L^p-asymptotic stability analysis of a 1D wave equation with a nonlinear damping

Yacine Chitour, Swann Marx+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p \in [2, \infty]$ に対して $L^p$-型関数空間における非線形減衰を有する1次元波動方程式について、適切に定義された問題と $L^p$-漸近的安定性を確立する。Lyapunov汎関数と無限次元線形時変システムの吸引性結果を用いて、単調でない非線形性に対しても、明示的な減衰率推定を伴う指数的減衰を証明する。Dirichlet境界条件および局所化された減衰の下で成立する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the asymptotic stability analysis of a one dimensional wave equation with Dirichlet boundary conditions subject to a nonlinear distributed damping with an L p functional framework, p $\in$ [2, $\infty$]. Some well-posedness results are provided together with exponential decay to zero of trajectories, with an estimation of the decay rate. The well-posedness results are proved by considering an appropriate functional of the energy in the desired functional spaces introduced by Haraux in [11]. Asymptotic behavior analysis is based on an attractivity result on a trajectory of an infinite-dimensional linear time-varying system with a special structure, which relies on the introduction of a suitable Lyapunov functional. Note that some of the results of this paper apply for a large class of nonmonotone dampings.

研究の動機と目的

• 1次元波動方程式に対して、$p \in [2, \infty]$ における $L^p$-型関数空間で適切に定義された問題と漸近的安定性を確立すること。
• 一般の非線形減衰、特に単調でない場合を含む、軌道の漸近的挙動を分析すること。
• $L^p$ ノルムにおけるエネルギーおよび状態軌道の明示的な減衰率推定を提供すること。
• $L^2$ フレームワークを超えて、$p \neq 2$ である $L^p$ 空間、特に $p = \infty$ に対しても安定性結果を拡張すること。
• 高次元において $p \neq 2$ のとき $L^p$ で有界でない D’Alembertian 算術作用素の問題に取り組み、1次元では有界性が成立することに注目する。

提案手法

• Harauxが提案したエネルギー関数フレームワークを $p \in [2, \infty]$ における $L^p$ 空間に適応する。
• 関数空間 $H_p(0,1) = W_0^{1,p}(0,1) \times L^p(0,1)$ および $D_p(0,1) = W^{2,p}(0,1) \cap W_0^{1,p}(0,1) \times W_0^{1,p}(0,1)$ におけるエネルギー推定を用いて、適切に定義された問題を確立する。
• 原方程式の軌道の周りで線形化して得られる線形時変システムの解析が、鍵となる技術である。
• 無限次元システムの吸引性結果を活用し、時変システムに特化したLyapunov汎関数を用いて漸近的安定性を証明する。
• 線形化されたシステムの解を、同次項と非同次項の和として表すために、Duhamelの公式を適用する。
• Rellich-Kondrachovのコンパクト埋め込みを用いて、空間微分の $H^1$-有界性を $L^\infty$-有界性に強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元波動方程式に対して、$p \in [2, \infty]$ における $L^p$ 空間で指数的 $L^p$-漸近的安定性を確立できるか？
• RQ2 これらの $L^p$ フレームワークにおいて、軌道の減衰率は初期条件および減衰特性にどのように依存するか？
• RQ3 条件 $\xi \sigma(\xi) \geq 0$ を満たす非単調非線形性 $\sigma$ に対しても安定性結果を拡張できるか？
• RQ4 $p \neq 2$ のとき $L^p$ 空間における D’Alembertian 算術作用素の役割は何か？1次元ではどのような条件下で有界性が成立するか？
• RQ5 安定性解析を、Korteweg-de Vries方程式や境界制御付き波動方程式などの他のPDEに $L^p$ フレームワークで拡張できるか？

主な発見

• 関数空間 $H_p(0,1)$ および $D_p(0,1)$ に対して、$p \in [2, \infty]$ で適切に定義された問題が成立し、$a(x)$ および $\sigma$ に関する適切な仮定の下で解が存在かつ一意である。
• 初期条件の大きさに依存する減衰率を伴い、$p \in [2, \infty]$ に対して $H_p(0,1)$ で軌道の指数的減衰が証明され、条件 $\xi \sigma(\xi) \geq 0$ を仮定する。
• $D_2(0,1)$ に属する初期データに対して、ある $C, \beta > 0$ が存在し、$\|z_x\|_{L^\infty(0,1)} \leq C e^{-\beta t} \|(z_0,z_1)\|_{D_2(0,1)}$ を満たす。これは空間微分の $L^\infty$-有界性を示す。
• $H_\infty(0,1)$ における減衰率推定は、$\|(z,z_t)\|_{H_\infty(0,1)} \leq C e^{-\beta_1 t} \|(z_0,z_1)\|_{D_2(0,1)}$ として導出され、$C = 2K_1 + \frac{K_2}{\beta_2 - \beta_1} m a_1$ である。
• 結果は、セクターバウンドや単調非線形性に制限されない広範な非単調減衰のクラスに適用可能である。
• 解析により、1次元において $H_p(0,1)$ で D’Alembertian 算術作用素が有界であることが確認され、$L^p$ フレームワークの適用を可能にする。